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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren
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Eigenvektoren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:56 Mi 26.05.2010
Autor: pitta

Aufgabe
Es seien K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, [mm] \phi \in End_{K}(V) [/mm] mit  Eigenvektoren v,w [mm] \in [/mm] V, und a,b [mm] \in [/mm] K.

Wann ist av+bw [mm] \in [/mm] V ebenfalls ein Eigenvektor von [mm] \phi [/mm] ?

Hallo,

hab mir folgendes überlegt:  v,w sind EV, also gilt:
[mm] \phi(v) [/mm] = cv
[mm] \phi(w) [/mm] = dw   für gewisse (Eigenwerte) c,d [mm] \in [/mm] K.

Damit av+bw ein EV von [mm] \phi [/mm] ist, muss gelten:
[mm] \phi(av+bw) [/mm] = e (av + bw) für e [mm] \in [/mm] K.

Ich setze also an:
[mm] \phi(av+bw) [/mm] = [mm] a*\phi(v) [/mm] + b* [mm] \phi(w) [/mm]  (weil [mm] \phi [/mm] linear)
= a*c*v + b* d * w  = c* av + d * bw (weil V Vektorraum über K)

damit man jetzt auf e (av + bw)  kommt muss  c=d gelten ( Dann kann man das Distributivgesetz anwenden)

Also ist av+bw ein Eigenvektor von [mm] \phi, [/mm] wenn v und w Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind ?

Bitte um Kommentare

Gruß

P.S. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.



        
Bezug
Eigenvektoren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 29.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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