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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Dualitätstheorie
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Dualitätstheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Fr 05.06.2009
Autor: physicus

Hi zusammen!

Ich befasse mich gerade mit der Dualitätstheorie und habe eine Frage:

[mm] \phi \in [/mm] Hom(V,W) und [mm] \phi^{\*} [/mm] ist die dazu duale Abbildung.

nun folgende Gleichungskette:

[mm] <\phi(v),w^{\*}> [/mm] = [mm] w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)= [/mm]

Mir sind alle Gleichheitszeichen klar bis auf das 2. Also warum ist:
[mm] w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v) [/mm]

Danke für die Hilfe!


        
Bezug
Dualitätstheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Fr 05.06.2009
Autor: fred97


> Hi zusammen!
>  
> Ich befasse mich gerade mit der Dualitätstheorie und habe
> eine Frage:
>  
> [mm]\phi \in[/mm] Hom(V,W) und [mm]\phi^{\*}[/mm] ist die dazu duale
> Abbildung.
>
> nun folgende Gleichungskette:
>  
> [mm]<\phi(v),w^{\*}>[/mm] =
> [mm]w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)=[/mm]
>  
> Mir sind alle Gleichheitszeichen klar bis auf das 2. Also
> warum ist:
>  [mm]w^{\*}(\phi(v))=\phi^{\*}(w^{\*})(v)[/mm]


Das ist doch die Def. von [mm] \phi^{\*} [/mm] !!!.

Für [mm] w^{\*} [/mm] ist doch [mm] \phi^{\*}(w^{\*}) [/mm] eine Linearform auf V. Und diese ist def. durch

                    [mm]\phi^{\*}(w^{\*})(v) = w^{\*}(\phi(v))[/mm]


FRED





>  
> Danke für die Hilfe!
>  


Bezug
                
Bezug
Dualitätstheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Fr 05.06.2009
Autor: physicus

hm...irgendwie scheint mir die Schreibweise nicht klar zu sein:

also [mm] \phi^{\*} \in Hom(W^{\*},V^{\*}) [/mm]

[mm] w^{\*}(\phi(v)) [/mm] bedeutet ja dass ich zuerst ein v [mm] \in [/mm] V auf ein w [mm] \in [/mm] W abbilde. Darauf ist dann meine Linearform [mm] w^{\*} [/mm] definiert und ich erhalte am Schluss ein Element aus dem zu Grunde liegenden Körper [mm] \IK. [/mm]
Jetzt aber wie ist [mm] \phi^{\*}w^{\*}(v) [/mm] zu verstehen? [mm] w^{\*}(v) [/mm] ist ja gar nicht definiert. Also muss ich zuerst [mm] \phi^{\*} [/mm] auf [mm] w^{\*} [/mm] anwende. Dadurch erhalte ich eine Linearform welche von V nach [mm] \IK [/mm] geht und darauf ist v definiert. also bedeutet [mm] \phi^{\*}w^{\*}(v) [/mm] eher [mm] (\phi^{\*}w^{\*})(v)? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Dualitätstheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Sa 06.06.2009
Autor: fred97


> hm...irgendwie scheint mir die Schreibweise nicht klar zu
> sein:
>  
> also [mm]\phi^{\*} \in Hom(W^{\*},V^{\*})[/mm]
>  
> [mm]w^{\*}(\phi(v))[/mm] bedeutet ja dass ich zuerst ein v [mm]\in[/mm] V auf
> ein w [mm]\in[/mm] W abbilde. Darauf ist dann meine Linearform
> [mm]w^{\*}[/mm] definiert und ich erhalte am Schluss ein Element aus
> dem zu Grunde liegenden Körper [mm]\IK.[/mm]
>  Jetzt aber wie ist [mm]\phi^{\*}w^{\*}(v)[/mm] zu verstehen?
> [mm]w^{\*}(v)[/mm] ist ja gar nicht definiert. Also muss ich zuerst
> [mm]\phi^{\*}[/mm] auf [mm]w^{\*}[/mm] anwende. Dadurch erhalte ich eine
> Linearform welche von V nach [mm]\IK[/mm] geht und darauf ist v
> definiert. also bedeutet [mm]\phi^{\*}w^{\*}(v)[/mm] eher
> [mm](\phi^{\*}w^{\*})(v)?[/mm]  




Ja

FRED


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