Drehung um 90° < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Beppe |
Hallo, ich hoffe, ich stelle meine Frage im richtigen Unterforum.
Sei A eine reelle, nicht symmetrische Matrix. Sei v ein reeler Vektor passender dimension. Folgt aus [mm]v^TAv=0[/mm] dass [mm]v\in\ker(A)[/mm]?
Wenn A eine Drehmatrix wäre, ist die Gleichung automatisch für jeden Vektor erfüllt. Aber sonst? Danke schon mal für die Antworten.
Editiert am 19. Januar 18:30, vorher stand da "Sei A eine reelle Matrix, allerdings keine Drehmatrix um n90°"
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Betrachte mal die folgende "extreme" Matrix
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }.
[/mm]
Es gilt: $ v^TAv=0 $ für alle $v [mm] \in \IR^2$ [/mm] !! Rechne das mal nach.
Ebenso, sieht man sofort:
$ [mm] \ker(A) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] $.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Beppe |
Ja, deswegen habe ich auch alle Drehmatrizen ausgeschlossen... Die Frage ist, ob das auch passieren kann, wenn eine Matrix NICHT alle Vektoren senkrecht auf sich selbst dreht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, deswegen habe ich auch alle Drehmatrizen
> ausgeschlossen... Die Frage ist, ob das auch passieren
> kann, wenn eine Matrix NICHT alle Vektoren senkrecht auf
> sich selbst dreht.
Deine Frage war: " Folgt aus $ v^TAv=0 $ dass $ [mm] v\in\ker(A) [/mm] $"
Mein Beispiel zeigt: die Antwort lautet: im allgemeinen, nein.
Oder hab ich was mißverstanden ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Beppe |
Scheinbar schon. Die Frage begann nämlich mit "Sei A eine reelle Matrix, allerdings keine Drehmatrix um n90°"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Beppe |
EDIT: Ok, man kann die ursprüngliche Frage doch editieren. Wer lesen kann ist klar im Vorteil und der erste Post ist editiert.
Leider kann ich die ursprüngliche Frage nicht editieren... A darf keine Drehung und keine Spiegelung sein, bei einer Spiegelung gibt es natürlich auch Vektoren, die von dieser um 90° gedreht werden.
Mir würde es reichen, zu zeigen, dass es gilt, wenn A nicht symmetrisch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> EDIT: Ok, man kann die ursprüngliche Frage doch editieren.
> Wer lesen kann ist klar im Vorteil und der erste Post ist
> editiert.
>
> Leider kann ich die ursprüngliche Frage nicht editieren...
> A darf keine Drehung und keine Spiegelung sein, bei einer
> Spiegelung gibt es natürlich auch Vektoren, die von dieser
> um 90° gedreht werden.
>
> Mir würde es reichen, zu zeigen, dass es gilt, wenn A
> nicht symmetrisch ist.
Neuer Versuch:
[mm] A:=\pmat{0 & 1 \\ 2 & 0 }, $v:=\vektor{1\\ 0}$
[/mm]
Dann ist A nicht symm. ,
$A*v= [mm] \vektor{0 \\ 2} \ne \vektor{0\\ 0} [/mm] $,
also
$v [mm] \notin \ker(A)$, [/mm]
aber
[mm] $v^T*A*v=0$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Beppe |
Ja, da hast du wohl recht. Schade und Danke!
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