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Doppelintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 Fr 30.05.2008
Autor: bore

Aufgabe
[mm] \integral_{x=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{ax} [/mm] rdrdx

Nun löse ich das Innere Integral auf [mm] \integral_{r=0}^{ax} rdr=(1/2)(ax)^2 [/mm]

Nun das äussere Integral [mm] \integral_{x=0}^{2\pi}(1/2)(ax)^2dx [/mm]
[mm] =1/2a^2\integral_{x=0}^{2\pi}x^2dx [/mm]
[mm] =(1/2a^2)*(2/3\pi^3)=1/6a^2\pi^2 [/mm]

Dieses Resultat stimmt aber nicht. Kan mir jemand sagen wo der Fehler liegt?

        
Bezug
Doppelintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Fr 30.05.2008
Autor: Denny22

Hallo,

> [mm]\integral_{x=0}^{2\pi}\integral_{r=0}^{ax}[/mm] rdrdx
>  Nun löse ich das Innere Integral auf [mm]\integral_{r=0}^{ax} rdr=(1/2)(ax)^2[/mm]
>  

[ok] Das ist sehr richtig! [bindafuer]

> Nun das äussere Integral
> [mm]\integral_{x=0}^{2\pi}(1/2)(ax)^2dx[/mm]
>  [mm]=1/2a^2\integral_{x=0}^{2\pi}x^2dx[/mm]
>  [mm]=(1/2a^2)*(2/3\pi^3)=1/6a^2\pi^2[/mm]
>  
> Dieses Resultat stimmt aber nicht.

[notok] Das stimmt in der Tat nicht. Denn Du hast einen Rechenfehler gemacht. [abgelehnt]

> Kan mir jemand sagen wo der Fehler liegt?

Das kann ich. Du musst die Stammfunktion von [mm] $x^2$ [/mm] bilden, die bekanntlich durch [mm] $\frac{1}{3}x^3$ [/mm] gegeben ist. Wir rechnen nun

[mm] $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}(ax)^2\,dx$ [/mm]
[mm] $=\frac{a^2}{2}\cdot\int_{0}^{2\pi}x^2\,dx$ [/mm]
[mm] $=\frac{a^2}{2}\cdot\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2\pi}$ [/mm]
[mm] $=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{1}{3}(2\pi)^3$ [/mm]
[mm] $=\frac{8\pi^3a^2}{6}$ [/mm]
[mm] $=\frac{4\pi^3a^2}{3}$ [/mm]

Gruß Denny

P.S. 1) Mach lieber einen Schritt mehr, dann verrechnet man sich auch nicht so schnell. 2) In Deiner letzten Gleichung wurde überings aus [mm] $\pi^3$ [/mm] ein [mm] $\pi^2$?! [/mm]
Bezug
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