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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Dimension und Basis
Dimension und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dimension und Basis: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 06.12.2005
Autor: Franzie

Hallöchen!
Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über  [mm] \IR [/mm] und b1,...,b4 eine Basis von V.
v1:= b1-2*b2+b4
v2:= 2*b3+5*b4
v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
Ich würde sagen ja, da  [mm] \mu1 [/mm] *(b1-2*b2+b4)+ [mm] \mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0 [/mm]
0=b1*( [mm] \mu1 [/mm] -2* [mm] \mu3)+b2*(4* \mu3 [/mm] -2* [mm] \mu1 [/mm] )+b3*(2* [mm] \mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2) [/mm]
also  [mm] \mu1 [/mm] =2* [mm] \mu3, [/mm] 4* [mm] \mu3=2* \mu1 [/mm] , 2* [mm] \mu2=-2* \mu3, [/mm] 3* [mm] \mu3=-5* \mu2 [/mm] und daher linear abhängig

b) Geben Sie eine Basis für [mm] U:=Span\{v1,v2,v3 \} [/mm] an!
Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:

A=  [mm] \pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 } [/mm] mit vertauschen z3 mit z1
A=  [mm] \pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0} [/mm] mit vertauschen s1 und s4
A=  [mm] \pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1} [/mm] mit vertauschen von s1 und s4
A=  [mm] \pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2} [/mm] und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der Nullvektor sind, also

b1=  [mm] \vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2} [/mm]
b2= [mm] \vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4} [/mm]
b3= [mm] \vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2} [/mm]

c) Welche Dimension hat U?
dimU= 2, da rg=2

d) Ergänzen Sie die Basis aus b) zu einer Basis von  [mm] \IR^{4} [/mm]
da hab ich gedacht, ich könnte das mit dem Vektor [mm] b4=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] machen.

danke schon mal für's Durchgucken!
Wünsche einen fleißigen Nikolaus!
liebe Grüße



        
Bezug
Dimension und Basis: Rechen und andere Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Di 13.12.2005
Autor: leduart

Hallo Franzie
> Hallöchen!
>  Wollte mal fragen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst
> habe:
>  Es seien V ein vierdimensionaler Vektorraum über  [mm]\IR[/mm] und
> b1,...,b4 eine Basis von V.
>  v1:= b1-2*b2+b4
>  v2:= 2*b3+5*b4
>  v3:= -2*b1+4*b2+2*b3+3*b4
>  a) Sind die Vektoren linear unabhängig?
>  Ich würde sagen ja, da  [mm]\mu1[/mm] *(b1-2*b2+b4)+

hier sagst du ja, unten aber abhängig!

> [mm]\mu2*(2*b3+5*b4)+ \mu3*(-2*b1+4*b2+2*b3+3*b4)=0[/mm]
>  0=b1*(
> [mm]\mu1[/mm] -2* [mm]\mu3)+b2*(4* \mu3[/mm] -2* [mm]\mu1[/mm] )+b3*(2* [mm]\mu2+2* \mu3)+b4*(3* \mu3+5* \mu2)[/mm]

Fehler im letzten Ausdruck!  [mm] b4*(\mu1+3* \mu3+5* \mu2) [/mm]

> also  [mm]\mu1[/mm] =2* [mm]\mu3,[/mm] 4* [mm]\mu3=2* \mu1[/mm] , 2* [mm]\mu2=-2* \mu3,[/mm] 3*
> [mm]\mu3=-5* \mu2[/mm] und daher linear abhängig

jetzt musst du doch erst nachprüfen ob das System lösbar ist für alle [mm] \mu\ne [/mm] 0!  Das system, das du angegeben hattest war nur für alle [mm] \mu=0 [/mm] lösbar!
Meines hat Lösungen ungleich 0! also sind die vi nicht linear unabhängig.

> b) Geben Sie eine Basis für [mm]U:=Span\{v1,v2,v3 \}[/mm] an!
>  Dazu ahb ich die Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst
> und als Matrix der folgenden Form auf Stufenform gebracht:
>  
> A=  [mm]\pmat{ b1 & -2*b2 & b4 & 0\\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ -2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 }[/mm]

b1 bis b4 sind doch keine Zahlen sondern Vektoren! dann kannst du doch die Matrix nicht so schreiben!
Ausserdem hat doch U höchstens dim=2 also kannst du auch nur 2 Basisvektoren angeben!

> mit vertauschen z3 mit z1
> A=  [mm]\pmat{-2*b1 & 4*b2 & 2*b3 & 3*b4 \\ 2*b3 & 5*b4 & 0 & 0 \\ b1 & -2*b2 & b4 & 0}[/mm]
> mit vertauschen s1 und s4
> A=  [mm]\pmat{3*b4 & 4*b2 & 2*b3 & -2*b1\\ 0 & 5*b4 & 0 & 2*b3 \\ 0 & -2*b2 & b4 & b1}[/mm]
> mit vertauschen von s1 und s4
>   A=  [mm]\pmat{3*b4 & -2*b1 & 2*b3 & 4*b2\\ 0 & 2*b3 & 0 & 5*b4 \\ 0 & b1 & b4 & -2*b2}[/mm]
> und damit ist eine Basis die Zeilen, die nicht der
> Nullvektor sind, also
>  
> b1=  [mm]\vektor{3*b4 \\ -2*b1 \\ 2*b3 \\ 4*b2}[/mm]
>  b2= [mm]\vektor{0 \\ 2*b3 \\ 0 \\ 5*b4}[/mm]
>  
> b3= [mm]\vektor{0 \\ b1 \\ b4 \\ -2*b2}[/mm]
>  
> c) Welche Dimension hat U?
>  dimU= 2, da rg=2

rg von was? wo hast du diesen rg berechnet?
Siehe oben, du hast aber 3 Basisvektoren gegeben.    
Leider noch mal anfangen. Du musst aus den 3 Vektoren 2 lin. unabhängige raussuchen oder herstellen, je 2 lin unabh, die aus v1,v2,v3 bestehen bilden eine Basis. die 2 zusätlichen müssen dann so gewählt werden, dass alle 4 lin. unabh. sind. und das musst du auch zeigen und nicht irgendeinen nehmen!
Gruss leduart

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