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| Aufgabe | Gegeben ist die Fkt. rho(x) = x'Ax, A symmetrische Matrix, x Vektor.
Nun ist das erste Differential d rho(x) = 2x'Adx wobei D rho(x)=2x'A die Ableitung von rho(x) ist.
Die zweite ist nun laut meiner Lösung d² rho(x) = d(2x'Adx)=2d(x'Adx)=2(dx)'Adx + 2x'Ad²x = 2(dx)'Adx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe diese Anwendung von d bzw. diese Ableitung nicht.
Wurde die Produktregel angewendet? Wie wird das innere dx denn behandelt beim ableiten?
Und: Warum ist 2A jetzt die Hesse Matrix?
Grüße
Mabre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Do 27.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
das gefällt mir nicht besonders. Stammt bestimmt aus keiner Mathematik-Vorlesung.
Um das Differenzial bei $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] in Richtung $h [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] zu bilden, betrachte den Weg [mm] $\gamma(t)=x+th$, [/mm] $t [mm] \in \mathbb{R}$.
[/mm]
Nach Kettenregel ist [mm] $d_x \rho(h)$=\frac{d}{dt}|_{t=0}\rho(\gamma(t))=\frac{d}{dt}|_{t=0}(x+th)^TA(x+th).
[/mm]
Das kann man jetzt ganz bequem wie in der Schule ableiten.
Aehnlich bildet man auch [mm] $d^2_x \rho(h)$
[/mm]
Falls du ein wenig Ahnung von Differentialformen hast, kannst du auch [mm] $d_x \rho=2x^T [/mm] A [mm] dx=2\sum_{i,j=1}^n x_iA_{ij}dx_j$ [/mm] (Die [mm] $dx_j$ [/mm] sind die kan. Basis von [mm] (\mathbb{R}^n)^\*) [/mm] schreiben.
Dann ist [mm] d^2_x\rho=2\sum_{i,j=1}^n d(x_iA_{ij})\wedge dx_j=2\sum_{i,j=1}^n A_{ij}dx_i\wedge dx_j.
[/mm]
Liebe Grüße
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