Diffeomorphie, Tangentialraum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:40 Do 06.11.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR_+eine [/mm] glatte positive Funktion, und seien
[mm] M_f:=\left\{(x,y,z)\in\IR^3:x^2+y^2=f(z)^2\right\}
[/mm]
eine durch f definierte Rotationsfläche und [mm] Z:=\left\{(x,y,z)\in\IR^3:x^2+y^2=1\right\} [/mm] ein Zylinder.
Sei [mm] F:M_f\to\;Z [/mm] die Abbildung
[mm] F(x,y,z)=\left(-\bruch{1}{f(z)}y, \bruch{1}{f(z)}x, z+1\right)
[/mm]
a) Was bedeutet diese Abbildung geometrisch?
b) Zeige, dass F ein Diffeom zwischen den Flächen [mm] M_f [/mm] und Z ist, dh. [mm] F:M_f\to\;Z [/mm] ist bijektiv, F und [mm] F^{-1} [/mm] sind glatt.
c) Sei [mm] p=(x,y,z)\in\;M_f. [/mm] Zeige, dass [mm] v=(-y,x,0)\in\IR^3 [/mm] ein Tangentialvektor an [mm] M_f [/mm] im Punkt p ist, und bestimme den Bildvektor [mm] dF(p)*v\in\;T_{F(p)}Z.
[/mm]
d) Veranschauliche v und dF(p)*v in einer Skizze. |
zu a) Tja, gute Frage...ich hab keine Ahnung, wodran ich hier welche Eigenschaften ablesen kann....
zu b) glatt ist hier denke ich gleichbedeutend mit undendlich oft stetig diffbar, oder?
zu c) Einfach mit der Definition von Tangentialraum überprüfen, ob v drinliegt?
zu d) das werd ich wohl hinbekommen, wenn ich den rest geschafft hab.....
Auf jeden Fall brauche ich mal nen Ansatz...danke für eure Hilfe...
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Ich sitze ebenfalls an dem Teil c) und habe mir gedacht, dass könnte man mit [mm] T_{p}M=kerdF(p) [/mm] lösen.
Also hab ich zuerst das dF(p) berechnet:
[mm] dF(p)=\pmat{ 0 & -\bruch{1}{f(z)} & \bruch{y}{f(z)^2} \\ \bruch{1}{f(z)} & 0 & -\bruch{x}{f(z)^2} \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Um den Kern zu berechnen muss man folgende Gleichungen lösen:
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{f(z)} & \bruch{y}{f(z)^2} \\ \bruch{1}{f(z)} & 0 & -\bruch{x}{f(z)^2} \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
also:
[mm] -\bruch{1}{f(z)}*b+\bruch{y}{f(z)^2}*c=0 \Rightarrow [/mm] b=0
[mm] \bruch{1}{f(z)}*a-\bruch{x}{f(z)^2}*c=0 \Rightarrow [/mm] a=0
c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
Was ja bedeuten würde, dass alle beliebigen Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] Tangentialvektoren an [mm] M_{f} [/mm] wären, was ich bezweifel...
Ich habe es auch mal andersherum versucht, also so: wenn v ein Tangentialvektor ist, dann gilt v [mm] \in [/mm] kerdF(p), also
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{f(z)} & \bruch{y}{f(z)^2} \\ \bruch{1}{f(z)} & 0 & -\bruch{x}{f(z)^2} \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{-y \\ x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Aber auch das geht bei mir nicht auf, denn hier erhalte ich als Ergebnis den Vektor:
[mm] \vektor{-\bruch{x}{f(z)} \\ -\bruch{y}{f(z)} \\ 0}
[/mm]
Es wäre wirklich super, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Denkfehler liegt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 10.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 10.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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