Diff-barkeit, konvexe menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Berti |
Hallo brauch ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei [mm] \Omega \in \IR^n [/mm] offen und konvex sowie g,f: [mm] \Omega \to \IR^m [/mm] differenzierbar mit Dg = Df auf [mm] \Omega.
[/mm]
Beweisen sie, dass dann f - g = const. auf [mm] \Omega [/mm] gilt.
also ich kann mir in etwa vorstellen wie die funktionen anschaulich aussehen müssen, dass das gilt. im Falle [mm] \IR [/mm] ist das auch recht gut vorstellbar.
aber ich weiß nicht so recht wie ich an den Beweis rangehen muss. vielleicht mit widerspruch, dass f - g [mm] \not= [/mm] const anfangen?
und irgendwann muss ich bestimmt auch áusnutzen, dass [mm] \Omega [/mm] konvex ist
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Hallo!
Du musst wirklich die Konvexität ausnutzen.
Nimm dir zunächst mal einen Punkt [mm] $x_0\in\Omega$. [/mm] Ziel ist jetzt zu zeigen, dass [mm] $(f-g)(x)=(f-g)(x_0)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\Omega$.
[/mm]
Sei also [mm] $x\in\Omega$. [/mm] Da [mm] $\Omega$ [/mm] konvex und offen ist, gibt es ein [mm] $\epsilon>0$, [/mm] so dass für [mm] $\lambda\in(-\epsilon;1+\epsilon)$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda x+(1-\lambda)x_0\in\Omega$.
[/mm]
Betrachte nun die Funktion $h:\ [mm] (-\epsilon;1+\epsilon)\to\IR^m,\ \lambda\mapsto (f-g)\big(\lambda x+(1-\lambda)x_0\big)$.
[/mm]
$h$ ist differenzierbar und es gilt: [mm] $Dh(\lambda)=(Df-Dg)\big(\lambda x+(1-\lambda)x_0\big)*(x-x_0)$. [/mm] Wegen $Dg=Df$ gilt also [mm] $Dh(\lambda)=0$. [/mm] Also ist $h$ konstant auf [mm] $(-\epsilon;1+\epsilon)$ [/mm] (das kann man jetzt für die Koordinatenfunktionen aus dem eindimensionalen Fall folgern...), insbesondere ist $h(0)=h(1)$...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Berti |
danke das hat mir echt weitergeholfen
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