Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
nachdem ich nun mein Matheskript intensiv studiert habe, bin ich zu folgenden Schlüssen gekommen.
1. Zerfällt ein char. Polynom über den Körper K komplett in linear Faktoren und hat dabei nur einen einzigen Eigenwert, so ist die dazugehörige Matrix A diagonalisierbar.
2. Die zur Matrix B gehörige Diagonalmatrix D hat in der Hauptdiagonalen die Eigenwerte der Matrix B stehen und ansonsten Nullen.
3. Die Reihenfolge der Eigenwerte in der Diagonalmatrix D ist beliebig.
MfG
Martin
PS: Vielen Dank für eure Antworten!!!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:23 Mo 11.10.2004 | | Autor: | mucklpu |
Ich kann mich irren aber ich glaube die Forderung "algebraische Vielfachheit = $ 1 $" stimmt so nicht und sollte ersetzt werden durch "algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit bzw. Dimension des Eigenraums"
Einfaches Beispiel wäre $ A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $, was offensichtlich diagonalisierbar ist. Der Eigenwert 1 hat aber algebraische Vielfachheit 2.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo muckpu!
Ich habe ja nicht behauptet, dass diese Eigenschaft notwendig für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist, sondern nur hinreichend.
Es ist also alles in Ordnung so.
Viele Grüße
Stefan
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
(dann bekommt man aber auch eine andere (Rang-)Ordnung der Basis aus Eigenvektoren)
