Diagonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Es sei für jedes t [mm] \in \IR [/mm] die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & t & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 }
[/mm]
a) Zeigen sie, dass die Matrix für jedes t [mm] \in \IR [/mm] diagonalisierbar ist.
b) Geben sie die Diagonalmatrix [mm] D_t [/mm] an, welche Diagonalisierung von [mm] M_t [/mm] entsteht. |
Hi,
wiedereinmal habe ich ein Problem.
Ich habe die definition von Diagonalisierbar angeschaut und herausgefunden, dass die determinante der jeweilligen Matrix [mm] \not= [/mm] 0 sein muss.
Wenn ich hierfür die Determinante bestimme, komme ich auf [mm] det(M_t)= [/mm] 1 - [mm] t^2 [/mm] . Das würde für t = [mm] \pm [/mm] 1 aber sehrwohl 0 geben. Wo liegt bei mir der Fehler?!
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 05.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei für jedes t [mm]\in \IR[/mm] die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & t & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 }[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass die Matrix für jedes t [mm]\in \IR[/mm]
> diagonalisierbar ist.
> b) Geben sie die Diagonalmatrix [mm]D_t[/mm] an, welche
> Diagonalisierung von [mm]M_t[/mm] entsteht.
> Hi,
>
> wiedereinmal habe ich ein Problem.
> Ich habe die definition von Diagonalisierbar angeschaut
> und herausgefunden, dass die determinante der jeweilligen
> Matrix [mm]\not=[/mm] 0 sein muss.
Das stimmt aber überhaupt nicht ! Z.B. ist die Nullmatrix tadellos diagonalisierbar
Schau noch mal nach.
FRED
>
> Wenn ich hierfür die Determinante bestimme, komme ich auf
> [mm]det(M_t)=[/mm] 1 - [mm]t^2[/mm] . Das würde für t = [mm]\pm[/mm] 1 aber sehrwohl
> 0 geben. Wo liegt bei mir der Fehler?!
>
>
>
> Gruß Phil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
ah da hab ich mal wieder schwachsinn gemacht :D
OK also Eigenwertberechnung...
[mm] \pmat{ 1-\lambda & t & 0 \\ t & 1-\lambda & 0 \\ 0 & t & 1 - \lamnbda }
[/mm]
dann determinante berechnen: [mm] det(M_t) [/mm] = [mm] (1-\lambda)^3 [/mm] - [mm] t^2 \cdot (1-\lambda) [/mm] = [mm] (1-\lambda) ((1-\lambda)^2 [/mm] - [mm] t^2) [/mm]
Damit wäre der erste Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 und wie berechnet man den 2. ? der ist ja von t abhängig, aber da beides quadratzahlen sind gibts für jedes t ein [mm] \lambda [/mm] sodass es 0 ergibt. Wie zeigt man das formal?
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 05.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ah da hab ich mal wieder schwachsinn gemacht :D
> OK also Eigenwertberechnung...
>
> [mm]\pmat{ 1-\lambda & t & 0 \\ t & 1-\lambda & 0 \\ 0 & t & 1 - \lamnbda }[/mm]
>
> dann determinante berechnen: [mm]det(M_t)[/mm] = [mm](1-\lambda)^3[/mm] - [mm]t^2 \cdot (1-\lambda)[/mm]
> = [mm](1-\lambda) ((1-\lambda)^2[/mm] - [mm]t^2)[/mm]
> Damit wäre der erste Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 1 und wie
> berechnet man den 2. ? der ist ja von t abhängig, aber da
> beides quadratzahlen sind gibts für jedes t ein [mm]\lambda[/mm]
> sodass es 0 ergibt. Wie zeigt man das formal?
Bestimme die Lösungen der Gleichung
[mm] (\lambda-1)^2-t^2=0
[/mm]
FRED
>
> Gruß Phil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
AH ok klar. t wie ne zahlbehandeln dann kommt man auf [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] t dann jeweils auf geometrische vielfachheit = algebraische vielfachheit checken dann ist man fertig.
Nach dem diagonalisieren habe ich [mm] \pmat{ t-1 & 0 & 0 \\ 0 & t^2-1 & 0 \\ 0 & 0 & t-1} [/mm] raus. Sollte stimmen.
Vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
Ah ich hab zum diagonalisieren allgemein noch ne andere Frage. und zwar hab ich jetzt schon häufiger eine Aufgabenstellung gehabt wie z.B. : bestimmen sie eine invertierbare Matrix S so dass D diagonalgestalt besitzt: D = [mm] S^{-1}\cdot M\cdot [/mm] S.
Wie bestimmt man sowas? Gehen wir mal von irgend ner einfacheren Matrix in 2x2 aus ( M = [mm] \pmat{-4 & 6 \\-3 & 5} [/mm] ). Was ist da die herangehensweise?
Gruß Phil
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> Ah ich hab zum diagonalisieren allgemein noch ne andere
> Frage. und zwar hab ich jetzt schon häufiger eine
> Aufgabenstellung gehabt wie z.B. : bestimmen sie eine
> invertierbare Matrix S so dass D diagonalgestalt besitzt: D
> = [mm]S^{-1}\cdot M\cdot[/mm] S.
> Wie bestimmt man sowas? Gehen wir mal von irgend ner
> einfacheren Matrix in 2x2 aus ( M = [mm]\pmat{-4 & 6 \\
-3 & 5}[/mm]
> ). Was ist da die herangehensweise?
>
Hallo,
Eigenwerte und Basen der Eigenräume bestimmen.
Ist die Matrix diagonalisierbar (alg. =geometr. Vielfachheit), so ist S die Matrix, die die Basisvektoren der Eigenräume in den Spalten enthält.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
Ah okay vielen Dank.
Problem solved
Gruß Phil
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