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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Würde gern wissen, wie ich herausfinde wie die Ebenen
x + y + z = 1 oder
z = xy
im Koordinatensystem aussehen?
Ausser der Möglichkeit mit der Eintragung von verschiedenen Zufallswerten... Gibt's da einen Trick? ;)
Vielen Dank!
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> Hallo!
> Würde gern wissen, wie ich herausfinde wie die Ebenen
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> x + y + z = 1 oder
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> z = xy
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> im Koordinatensystem aussehen?
> Ausser der Möglichkeit mit der Eintragung von verschiedenen
> Zufallswerten... Gibt's da einen Trick? ;)
> Vielen Dank!
Hallo.
Zumindest was die erste Ebene betrifft, gibts da einen "Trick":
man bestimmt sich einfach die Parameterform der Ebene: wenn wir x=t und y=s setzen, so ist nämlich z damit schon eindeutig bestimmt, nämlich z=1-s-t.
Dann können wir die Ebene auch schreiben als alle Punkte [mm] \pmat{x \\ y\\ z}, [/mm] für mit beliebigen s und t die folgende Gleichung gilt:
[mm] \pmat{x \\ y\\ z}=\pmat{1 \\ 0\\ -1}t+\pmat{0 \\ 1\\ -1}s+\pmat{0 \\ 0\\ 1}.
[/mm]
Dann ist sozusagen [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] Der "Stützvektor" dieser Ebene, an dem die Ebene sozusagen "befestigt" ist.
Zeichnet man die anderen beiden Vektoren an die Spitze des Stützvektors, so spannen diese beiden Vektoren die Ebene auf, d.h. diese bestimmen die "Richtung" der Ebene.
Das ist relativ einfach zu zeichnen und man sieht schnell, wie die Ebene aussieht.
Ein anderer "Trick" ist, die "Achsenschnittpunkte" der Ebene zu bestimmen, d.h. in der Gleichung nacheinander (x,y), (x,z) und (y,z) gleich null zu setzen und die übrigbleibende Koordinate auszurechnen.
Hierbei erhält man dann die folgenden drei Punkte: [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Es gibt genau eine Ebene, die durch diese 3 Punkte geht, und das ist die Ebene, die Du suchst.
Die andere Gleichung beschreibt keine gewöhnliche Ebene sondern vielmehr eine gekrümmte Fläche.
Hier sieht man ganz gut, was Sache ist, wenn man bestimmte Werte einsetzt.
Du hast hier z.B. für x=0 oder y=0 für z immer 0 raus.
Andererseits, wenn Du x=y hast, erhältst Du [mm] z=x^2, [/mm] also etwas Parabelförmiges.
Für y=-x andererseits hast Du [mm] z=-x^2, [/mm] also eine nach unten geöffnete Parabel.
Für andere Werte muß das Bild irgendwo dazwischwen liegen, es wird also einem Sattel ähneln, weshalb diese Fläche auch "Sattelfläche" genannt wird.
Ich hab beide Flächen mal in Derive zeichnen lassen, damit Du siehst, wie sowas aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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