DGL mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
[mm] y'-(\bruch{1}{x}+\cot x)\cdot y=x\cdot\cot{x} [/mm] |
Hey,
Zunächst substituiere ich [mm] z=\bruch{y(x)}{x} [/mm] und erhalte damit folgende lineare DGL:
[mm] z'\cdot x=x\cdot\cot{x}\cdot(z+1)
[/mm]
Durch Separation d. Variablen komme ich auf
[mm] |z+1|=e^{c}\cdot \sin{x} =A\cdot \sin{x}
[/mm]
1. Fall:
[mm] z+1=A\cdot \sin{x}
[/mm]
[mm] z=A\cdot \sin{x}-1
[/mm]
und damit [mm] y=x\cdot(A\cdot \sin{x}-1)
[/mm]
2. Fall
[mm] -(z+1)=A\cdot \sin{x}
[/mm]
[mm] -z=A\cdot \sin{x}+1
[/mm]
[mm] z=-A\cdot \sin{x}-1
[/mm]
und damit [mm] y=-x\cdot(A\cdot \sin{x}+1)
[/mm]
Habe ich richtig gerechnet, bzw das mit den Beträgen richtig aufgelöst?
Vielen Dank,
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 07.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Lösen Sie folgende DGL:
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> [mm]y'-(\bruch{1}{x}+\cot x)\cdot y=x\cdot\cot{x}[/mm]
> Hey,
>
> Zunächst substituiere ich [mm]z=\bruch{y(x)}{x}[/mm] und erhalte
> damit folgende lineare DGL:
>
> [mm]z'\cdot x=x\cdot\cot{x}\cdot(z+1)[/mm]
>
> Durch Separation d. Variablen komme ich auf
>
> [mm]|z+1|=e^{c}\cdot \sin{x} =A\cdot \sin{x}[/mm]
>
> 1. Fall:
> [mm]z+1=A\cdot \sin{x}[/mm]
> [mm]z=A\cdot \sin{x}-1[/mm]
>
> und damit [mm]y=x\cdot(A\cdot \sin{x}-1)[/mm]
>
> 2. Fall
> [mm]-(z+1)=A\cdot \sin{x}[/mm]
> [mm]-z=A\cdot \sin{x}+1[/mm]
> [mm]z=-A\cdot \sin{x}-1[/mm]
>
> und damit [mm]y=-x\cdot(A\cdot \sin{x}+1)[/mm]
>
>
> Habe ich richtig gerechnet, bzw das mit den Beträgen
> richtig aufgelöst?
>
ja, beide Lösungen stimmen.
>
> Vielen Dank,
> lg
Gruß,
notinX
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