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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:23 Di 24.08.2010 | | Autor: | pavelle |
Eigenwerte wurden berechnet, es folgt:
[mm] \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 5\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} v_{1}\\ v_{2}\end{vmatrix}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] 3\cdot v_{1}+3\cdot v_{2}=0
[/mm]
[mm] 5\cdot v_{1}+5\cdot v_{2}=0
[/mm]
Durch hinsehen sehe ich das die Lösung
[mm] v=\begin{vmatrix} a \\ -a \end{vmatrix}
[/mm]
oder
[mm] v=\begin{vmatrix} -a \\ a \end{vmatrix}
[/mm]
sein muss.
[mm] a\in\mathbb{R}
[/mm]
Nun bräuchte ich aber noch einen rechnerischen Nachweis, aber ich weiß nicht wie ich es angehen soll.
Im Beispiel sind unendlich viele Zahlenwerte möglich, gibt es dennoch nur eine richtige Lösung?
Weiteres Problem sind die Vorzeichen, ob nun das Minus in der ersten oder zweiten Spalte steht.
Für jede Hilfestellung bin ich dankbar
Gruß
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Hallo pavelle,
> Eigenwerte wurden berechnet, es folgt:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 5\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} v_{1}\\ v_{2}\end{vmatrix}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]3\cdot v_{1}+3\cdot v_{2}=0[/mm]
>
> [mm]5\cdot v_{1}+5\cdot v_{2}=0[/mm]
>
>
> Durch hinsehen sehe ich das die Lösung
>
> [mm]v=\begin{vmatrix} a \\ -a \end{vmatrix}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]v=\begin{vmatrix} -a \\ a \end{vmatrix}[/mm]
>
> sein muss.
>
>
> [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Nun bräuchte ich aber noch einen rechnerischen Nachweis,
> aber ich weiß nicht wie ich es angehen soll.
>
> Im Beispiel sind unendlich viele Zahlenwerte möglich, gibt
> es dennoch nur eine richtige Lösung?
Nein, siehe unten
>
> Weiteres Problem sind die Vorzeichen, ob nun das Minus in
> der ersten oder zweiten Spalte steht.
>
> Für jede Hilfestellung bin ich dankbar
Nun, es geht wohl darum, zu einem gefundenen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] einen Eigenvektor zu bestimmen.
Die Matrix [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2$ [/mm] ist dann deine obige Matrix
[mm] $\pmat{3&3\\5&5}$
[/mm]
Wie bestimmt man nochmal Eigenvektoren? Richtig, indem man das obige LGS, das du da aufgeschrieben hast, löst.
(1) [mm] $3\cdot v_{1}+3\cdot v_{2}=0$
[/mm]
(2) [mm] $5\cdot v_{1}+5\cdot v_{2}=0$
[/mm]
Es gibt doch diverse Lösungsverfahren, hier bietet sich das Additionsverfahren an:
Addiere das [mm] $-\frac{5}{3}$-fache [/mm] von (1) auf (2): das liefert
(1') [mm] $3\cdot v_{1}+3\cdot v_{2}=0$
[/mm]
(2') $0=0$
Nun kannst du bei Bedarf noch [mm] $\frac{1}{3}\cdot{}(1')$ [/mm] rechnen:
(1'') [mm] $v_1+v_2=0$
[/mm]
(2'') $0=0$
Hier hast du nun eine Gleichung (1'') in zwei Unbekannten [mm] $v_1,v_2$
[/mm]
Du kannst also etwa [mm] $v_2$ [/mm] frei wählen. Sagen wir [mm] $v_2:=a$ [/mm] mit [mm] $a\in\IR$
[/mm]
Das in (1'') eingesetzt gibt [mm] $v_1+a=0$, [/mm] also [mm] $v_1=-a$
[/mm]
Ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] hat also die Gestalt [mm] $\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{-a\\a}$ [/mm] mit [mm] $a\in\IR\setminus\{0\}$
[/mm]
ohne Null, denn der Nullvektor ist per definitionem kein Eigenvektor
Mit $a=1$ bekommst du etwa den Eigenvektor [mm] $\vektor{-1\\1}$ [/mm]
Mit $a=-1$ dann entsprechend [mm] $\vektor{1\\-1}$
[/mm]
Suche dir einen aus ...
Übrigens finde ich es übersichtlicher, den Kern der Matrix [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2$ [/mm] zu bestimmen (also das obige LGS zu lösen), indem man [mm] $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2$ [/mm] auf Zeilenstufenform bringt.
Das gibt entsprechend der obigen Rechnung in Matrixdarstellung halt [mm] $\pmat{1&1\\0&0}$ [/mm] mit derselben Lösungsgesamtheit wie oben ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Di 24.08.2010 | | Autor: | pavelle |
Hallo schachuzipus, vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Beste Grüße
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