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Forum "Integralrechnung" - Bogenlänge
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Bogenlänge: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Aufgabe
Für eine Absperrung wurde eine Kette zwischen zwei gleichhohen Pollern befestigt.
Die dabei entstandene "Kettenlinie" lässt sich wie folgt beschreiben:
f(x)= [mm] a*cosh(\bruch{x}{a}) [/mm] , I= (-5 ; 5 )

Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion f im Intervall I für den Fall, dass der Parameter a= 2 ist.

Hallo,

we sollte ich hier vorgehen ? Mit partielle Integration?

        
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Bogenlänge: in Formel einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 16.01.2015
Autor: Loddar

Hallo Schlumpf!


Nein, partielle Integration ist hier nicht erforderlich.

Setze in die bekannte Formel für die Kurvenlänge von Funktionsgraphen ein.

Zudem benötigst Du hier noch folgende Identität:    [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z) [/mm] \ = \ 1$


Gruß
Loddar

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Bogenlänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Hab jetzt f(x) = 2*cosh [mm] (\bruch{x}{2}) [/mm]

für die Formel muss ich ja davon die Ableitung bilden... wo muss ich jetzt den Hinweis [mm] cosh^2(x) [/mm] - [mm] sinh^2 [/mm] (x) = 1 verwenden...

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Bogenlänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Fr 16.01.2015
Autor: Valerie20


> Hab jetzt f(x) = 2*cosh [mm](\bruch{x}{2})[/mm]

[ok]

> für die Formel muss ich ja davon die Ableitung bilden...

Mach das und setze danach in die Formel für die Bogenlänge ein.
Wenn du bei diesem Schritt angelangt bist, sollte dir der Tipp von Loddar helfen.

Tippe dein Ergebnis dann bitte hier ab. 

Valerie

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Bogenlänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Also Formel: s= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f´(x))^2}dx} [/mm]

f(x) = [mm] 2*cosh(\bruch{x}{2}) [/mm]
= [mm] 2*cosh(\bruch{1}{2}x) [/mm]
f´(x)= [mm] sinh(\bruch{1}{2}x) [/mm]

s= [mm] \integral_{-5}^{+5}{\wurzel{1+(sinh(\bruch{1}{2}x))^2}dx} [/mm]

Wie komme ich jetzt weiter mit dem Hinweis?



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Bogenlänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Fr 16.01.2015
Autor: fred97


> Also Formel: s= [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f´(x))^2}dx}[/mm]
>  
> f(x) = [mm]2*cosh(\bruch{x}{2})[/mm]
>  = [mm]2*cosh(\bruch{1}{2}x)[/mm]
>  f´(x)= [mm]sinh(\bruch{1}{2}x)[/mm]
>  
> s=
> [mm]\integral_{-5}^{+5}{\wurzel{1+(sinh(\bruch{1}{2}x))^2}dx}[/mm]
>  
> Wie komme ich jetzt weiter mit dem Hinweis?

Unter der Wurzel hast Du [mm] (cosh(\bruch{1}{2}x))^2 [/mm]

fred

>  
>  


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ah ok hat sich erledigt fred
Bezug
                                                        
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Bogenlänge: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:12 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Letzter Standpunkt: [mm] \integral_{-5}^{+5}{ \wurzel{cosh^2(\bruch{1}{2}x) } dx} [/mm]

Habe es jetzt anders [mm] geschrieben\integral_{-5}^{+5}{ (cosh^2 (\bruch{1}{2}x))^\bruch{1}{2} } [/mm] dx

Wie musste ich jetzt weiter machen

Bezug
                                                                
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Bogenlänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Ich habe jetzt [mm] \integral_{-5}^{5}{cosh(\bruch{1}{2}x) dx} [/mm] raus...
Integriert = [mm] \bruch{1}{4}*sinh(\bruch{1}{2}x)^2 [/mm]
wie sollte ich jetzt hier 5 und -5 einsetzen bei mir kommt error...

Bezug
                                                                        
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Bogenlänge: Stammfunktion falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Fr 16.01.2015
Autor: Loddar

Hallo Schlumpf!

> Ich habe jetzt [mm]\integral_{-5}^{5}{cosh(\bruch{1}{2}x) dx}[/mm] raus...

[ok]


> Integriert = [mm]\bruch{1}{4}*sinh(\bruch{1}{2}x)^2[/mm]

[notok] Das solltest Du Dir nochmal anschauen und mache die Probe.
Sowohl der Faktor als auch das "hoch 2" sind falsch.


> wie sollte ich jetzt hier 5 und -5 einsetzen bei mir kommt
> error...

Das lässt sich aus der Ferne nicht feststellen, was Du da wie einsetzt.

Du musst am Ende ausrechnen: $F(+5)-F(-5)_$ .


Gruß
Loddar

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Bogenlänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Hallo,

Ich habe 1/4 falsch gemacht...
[mm] \integral_{-5}^{5}{cosh(\bruch{1}{2}x) dx} [/mm]
= [mm] 2*sinh(\bruch{1}{2}x) [/mm]

Warum hier hoch zwei falsch ist verstehe ich nicht [mm] (\bruch{1}{2}x)^1 [/mm] ist ja hoch 1 , und 1+1 = 2
Auch wenn ich [mm] 2*sinh(\bruch{1}{2}x) [/mm] raus habe und hier für x = [mm] \pm [/mm] 5 einsetze kommt wieder error raus .. :/

Bezug
                                                                                        
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Bogenlänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 16.01.2015
Autor: abakus


> Auch wenn ich [mm]2*sinh(\bruch{1}{2}x)[/mm] raus habe und hier
> für x = [mm]\pm[/mm] 5 einsetze kommt wieder error raus .. :/

Hallo,
ich glaube kaum, dass dein TR eine sinh-Taste hat, also musst du sie doch als Kombination von e-hoch...- Termen eingeben. Welchen TR hast du und wie gibst du die e-Funktion ein?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 Fr 16.01.2015
Autor: Schlumpf004

Casio fx-85 DE PLUS
hat sich erledigt habe es gegoogelt und gefunden dass man auf hyp drücken muss
Habe jetzt 24,2 raus

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