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| Aufgabe | Für z [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] definiren wir den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten: [mm] \vektor{z \\ n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{z+1-k}{k}.
[/mm]
Man betrachte die Potenzreihe
[mm] f_{z} [/mm] (x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{z \\ n} x^{n}.
[/mm]
Zeigen Sie:
1) der konvergenzradius fon [mm] f_{z} [/mm] ist 1, falls z [mm] \not\in \IN
[/mm]
2) Es gilt (1+x) [mm] f_{z}`(x) [/mm] = z [mm] f_{z} [/mm] (x)
3) Es gilt [mm] f_{z} [/mm] (x) = [mm] (1+x)^{z}
[/mm]
4) Die Potenzfunktion g(x) = [mm] x^{z} [/mm] ist reell analytisch auf [mm] (0,\infty). [/mm] |
hallo zusammen!
Also teil 1 , 2 und 3 hab ich schon gezeigt...aber bei der 4) weiß ich irgendwie nicht, wie ich das machen soll...kann mir da jemand helfen?
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Ok, also ich muss in dem fall wohl [mm] x^{z} [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln..aber wie mach ich das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 08.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für z [mm]\in \IC[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] definiren wir den
> verallgemeinerten Binomialkoeffizienten: [mm]\vektor{z \\ n}[/mm] =
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} \bruch{z+1-k}{k}.[/mm]
> Man betrachte die
> Potenzreihe
> [mm]f_{z}[/mm] (x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{z \\ n} x^{n}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> 1) der konvergenzradius fon [mm]f_{z}[/mm] ist 1, falls z [mm]\not\in \IN[/mm]
>
> 2) Es gilt (1+x) [mm]f_{z}'(x)[/mm] = z [mm]f_{z}[/mm] (x)
> 3) Es gilt [mm]f_{z}[/mm] (x) = [mm](1+x)^{z}[/mm]
> 4) Die Potenzfunktion g(x) = [mm]x^{z}[/mm] ist reell analytisch
> auf [mm](0,\infty).[/mm]
> hallo zusammen!
> Also teil 1 , 2 und 3 hab ich schon gezeigt...aber bei der
> 4) weiß ich irgendwie nicht, wie ich das machen soll...kann
> mir da jemand helfen?
Es ist doch: $g(x) = [mm] f_z(x-1)$. [/mm] Damit hast du die Behauptung schon mal für [mm] $x\in(0,2)$. [/mm] Für [mm] $x\in(1/2,\infty)$ [/mm] nimmst du $g(x) = [mm] f_{-z}(1/x-1)$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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