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Bildung der Umkehrfunktion?: Vorgehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Di 13.05.2008
Autor: Surfer

Hallo, wenn ich die Funktion g:(0, [mm] \bruch{\pi}{2})\to \IR:x\mapsto\wurzel{cosx} [/mm]
wie komme ich hier zur Umkehrfunktion? Bitte eine schrittweise Erklärung!

lg Surfer

        
Bezug
Bildung der Umkehrfunktion?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Di 13.05.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo, wenn ich die Funktion g:(0, [mm]\bruch{\pi}{2})\to \IR:x\mapsto\wurzel{cosx}[/mm]
>  
> wie komme ich hier zur Umkehrfunktion? Bitte eine
> schrittweise Erklärung!
>  
> lg Surfer

die Funktion ist so gar nicht umkehrbar (da nicht surjektiv). Du kannst Dir aber überlegen:
[mm] $g\left(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\right)=(0,1)$ [/mm]

Dann überlege Dir:

$f: [mm] \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \to [/mm] (0,1)$ mit $f(x):=g(x)$ für $x [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] ist bijektiv. Und die zu $f$ gehörige Umkehrfunktion

[mm] $f^{-1}: [/mm] (0,1) [mm] \to \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm]

erhälst Du so:
Für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ suchen wir das eindeutig bestimmte $y [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] mit [mm] $x=f(y)=\sqrt{\cos(y)}$. [/mm]

Aus der letzten Gleichung erhälst Du dann das gesuchte $y$, wenn Du diese zunächst quadrierst und danach dann den [mm] $\arccos(.)$ [/mm] anwendest.

Meinetwegen auch mal an einem Beispiel:
[mm] $x=\sqrt{0,5} \Rightarrow f^{-1}(0,5)=\arccos(0,5)=\pi/3$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
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