Bildung der Stammfunktion mitB < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 10.01.2006 | | Autor: | Ivana |
Wie bildet man die Ableitung zu etwas, was in Betragsstrichen steht, wie hier z.B. der Variable x?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \integral_{-1}^{1}{f(|x-x²|) dx}
[/mm]
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Hi, Ivana,
> Wie bildet man die Ableitung zu etwas, was in
> Betragsstrichen steht, wie hier z.B. der Variable x?
Du meinst sicher die Stammfunktion? Obwohl: Der Anfang ist derselbe!
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(|x-x²|) dx}[/mm]
Ich schätze, das f ist überflüssig und Du meinst: [mm] \integral_{-1}^{1}{|x-x²| dx}
[/mm]
Zunächst musst Du den Funktionsterm betragstrichfrei schreiben:
[mm] |x-x^{2}| [/mm] = [mm] \begin{cases} x-x^{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \\ x^{2}-x, & \mbox{für } x < 0 \vee x > 1 \end{cases}
[/mm]
Das in Deiner Aufgabe verlangte Integrationsintervall [-1 ; 1 ] muss daher bei x=0 "unterbrochen"´werden:
[mm] \integral_{-1}^{1}{|x-x²| dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{(x²-x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{(x-x²) dx} [/mm]
Naja: Den Rest schaffst Du alleine!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Ivana |
Danke, weiter komme ich auch alleine,
aber ich verstehe einfach nicht,
warum du, an der Stelle, bevor du das mit dem "unterbrechen" geschrieben hast und danach auch,
das x² und das x vertauschst,
also,
anstatt x-x², steht dort an zwei Stellen x²-x.
Danke schon einmal im Vorraus!
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Hallo Ivana!
Da hat Zwerglein die Definition der Betragsfunktion angewandt:
[mm] |z|:=\begin{cases} -z, & \mbox{für } z \ < \ 0 \mbox{ } \\ z, & \mbox{für } z \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Das heißt für Deine Funktion also:
[mm] \left|x-x^2\right|:=\begin{cases} -\left(x-x^2\right), & \mbox{für } x-x^2 \ < \ 0 \mbox{ } \\ x-x^2, & \mbox{für } x-x^2 \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Umgeformt:
[mm] \left|x-x^2\right|=\begin{cases} x^2-x, & \mbox{sonst} \mbox{ } \\ x-x^2, & \mbox{für } 0 \ \le \ x \ \le \ 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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