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Bild stetiger Operatoren: Beweis,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 23.01.2011
Autor: Balendilin

Aufgabe
Gegeben ist ein linearer Operator T: [mm] X\rightarrow [/mm] Y, wobei X und Y normierte Räume (mit den Normen [mm] ||\cdot||_x [/mm] bzw. [mm] ||\cdot||_Y) [/mm] über dem selben Körper sind.

zu zeigen ist, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(1) T ist stetig
(2) T ist beschränkt
(3) Das Bild unter T der offenen oder abgeschlossenen Einheitskugel in X ist beschränkt in Y
(4) Das Bild unter T jeder in X beschränkten Menge ist beschränkt in Y
(5) Es gibt eine Kugel um 0 in X, deren Bild in Y beschränkt ist

Einige Richtungen habe ich schon bewiesen.
1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] 2 habe ich hin bekommen

Aus 2 folgt dann 3:
[mm] ||x||_x \leq [/mm] 1 [mm] \Rightarrow ||Tx||_y\leq c\cdot||x||_x=c [/mm] (da T beschränkt ist)

Genau so folgt auch [mm] 2\Rightarrow [/mm] 4 und [mm] 2\Rightarrow [/mm] 5

Ist folgender Beweis für [mm] 5\Rightarrow [/mm] 1 ok:
Sei U diese Kugel. T|U (T eingeschränkt auf U) ist also beschränkt. Damit ist T|U stetig auf U, insbesondere also in einem Pkt. (z.B. der 0). Und damit ist auch T in 0 stetig und damit auf ganz X
Der Beweis für [mm] 3\Rightarrow [/mm] 1 wäre analog.

Bekommt man irgendwie einen Beweis für [mm] 5\Rightarrow [/mm] 4 oder 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 4 hin?

        
Bezug
Bild stetiger Operatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Mo 24.01.2011
Autor: fred97


> Gegeben ist ein linearer Operator T: [mm]X\rightarrow[/mm] Y, wobei
> X und Y normierte Räume (mit den Normen [mm]||\cdot||_x[/mm] bzw.
> [mm]||\cdot||_Y)[/mm] über dem selben Körper sind.
>  
> zu zeigen ist, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
>  
> (1) T ist stetig
>  (2) T ist beschränkt
>  (3) Das Bild unter T der offenen oder abgeschlossenen
> Einheitskugel in X ist beschränkt in Y
>  (4) Das Bild unter T jeder in X beschränkten Menge ist
> beschränkt in Y
>  (5) Es gibt eine Kugel um 0 in X, deren Bild in Y
> beschränkt ist
>  Einige Richtungen habe ich schon bewiesen.
> 1 [mm]\Leftrightarrow[/mm] 2 habe ich hin bekommen
>  
> Aus 2 folgt dann 3:
>  [mm]||x||_x \leq[/mm] 1 [mm]\Rightarrow ||Tx||_y\leq c\cdot||x||_x=c[/mm]
> (da T beschränkt ist)
>  
> Genau so folgt auch [mm]2\Rightarrow[/mm] 4 und [mm]2\Rightarrow[/mm] 5
>  
> Ist folgender Beweis für [mm]5\Rightarrow[/mm] 1 ok:
>  Sei U diese Kugel. T|U (T eingeschränkt auf U) ist also
> beschränkt.


Das hast Du falsch verstanden.  Es bedeutet:  T(U) ist beschränkt, d.h. : es gibt ein c>0 mit:

                      $||Tx|| [mm] \le [/mm] c$   für jedes x [mm] \in [/mm] U


FRED

> Damit ist T|U stetig auf U, insbesondere also
> in einem Pkt. (z.B. der 0). Und damit ist auch T in 0
> stetig und damit auf ganz X
>  Der Beweis für [mm]3\Rightarrow[/mm] 1 wäre analog.
>  
> Bekommt man irgendwie einen Beweis für [mm]5\Rightarrow[/mm] 4 oder
> 3 [mm]\Rightarrow[/mm] 4 hin?


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