Beweis von Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Eratis |
| Aufgabe | Für reelles a>0 bilde man
[mm] x_1 [/mm] = 1 +a und allgemein [mm] x_n+1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x_n [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_n}) [/mm]
(n [mm] \ge [/mm] 1)
Beweisen Sie, dass [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = [mm] \wurzel{a}
[/mm]
Hilfe: Man kann z.B. [mm] x_n [/mm] = [mm] t_n \wurzel{a} [/mm] setzten und Monotonie der [mm] t_n [/mm] nachweisen und nutzen. |
Huhu zusammen,
ich hab mal wieder ein Problem mit meinen Übungsaufgaben für die Uni =(
Wir haben so eine ähnliche Aufgabe mit unserem Übungsleiter durchgenommen, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich die auf diese aufgabe anwenden kann.
Mein Ansatz auf grund der Aussagen des Übungsleiters:
Schritt 1:
[mm] x_n [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] für alle [mm] n\in\IN\sub [/mm]
Iduktionsanfang: n = 1 [mm] x_1 [/mm] = 1 + a ( wieso ist das so ich habe das einfach aus der aufgabenstellung übernommen; ist das richtig?)
Induktionsschritt: aus [mm] x_n [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] folgt [mm] x_n+1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x_n [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_n}) [/mm]
Also: [mm] \bruch{1}{2}(x_n [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\wurzel{a} [/mm] + [mm] \bruch{a}{\wurzel{a}}) [/mm]
Schritt 2:
[mm] x_n [/mm] = [mm] x_n+1
[/mm]
[mm] x_n+1 -x_n [/mm] = [mm] {\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) - x_n} [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) - x_n)}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n)}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{((\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n}) -x_n) + ((\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n}) + x_n)}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{2x_n}) + x_n} [/mm] = [mm] {\bruch{(\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n})^2 -x_n^2}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x_n}{2}+\bruch{a}{2x_n}-x_n^2}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x_n}{2}+(\bruch{a}{2x_n}-\bruch{a}{2x_n})-x_n^2}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n})- x_n (1 + x_n)}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}
[/mm]
so und ab hier komme ich nicht mehr weiter! wie das ergebnis formal aussehen muss weiss ich, aber komm einfach nicht drauf wie das gehen soll. oder hab ich einen komplett falschen ansatz verwendet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lg Era
Danke schonmal für euer bemühen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mi 17.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Für reelles a>0 bilde man
>
> [mm]x_1[/mm] = 1 +a und allgemein [mm]x_n+1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(x_n[/mm] +
> [mm]\bruch{a}{x_n})[/mm]
> (n [mm]\ge[/mm] 1)
>
> Beweisen Sie, dass [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm]
>
> Hilfe: Man kann z.B. [mm]x_n[/mm] = [mm]t_n \wurzel{a}[/mm] setzten und
> Monotonie der [mm]t_n[/mm] nachweisen und nutzen.
> Huhu zusammen,
>
> ich hab mal wieder ein Problem mit meinen Übungsaufgaben
> für die Uni =(
>
> Wir haben so eine ähnliche Aufgabe mit unserem
> Übungsleiter durchgenommen, aber irgendwie verstehe ich
> nicht wie ich die auf diese aufgabe anwenden kann.
>
>
> Mein Ansatz auf grund der Aussagen des Übungsleiters:
>
> Schritt 1:
> [mm]x_n[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm] für alle [mm]n\in\IN\sub[/mm]
Hier sollte doch [mm]x_n[/mm] = [mm]t_n\wurzel{a}[/mm] für alle [mm]n\in\IN\sub[/mm] sein.
>
> Iduktionsanfang: n = 1 [mm]x_1[/mm] = 1 + a ( wieso ist das so
> ich habe das einfach aus der aufgabenstellung übernommen;
> ist das richtig?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Voraussetzung benutzt)
Jetzt muss [mm] $t_1$ [/mm] in [mm] $x_1$ [/mm] rein.
Also [mm]x_1[/mm] = 1 + a = [mm] $t_1\wurzel{a}$
[/mm]
Aus 1 + a = [mm] $t_1\wurzel{a}$ [/mm] lässt sich durch auflösen nach $ [mm] t_1$, [/mm] $ [mm] t_1$ [/mm] bestimmen.
>
> Induktionsschritt: aus [mm]x_n[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm] folgt [mm]x_n+1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(x_n[/mm] + [mm]\bruch{a}{x_n})[/mm]
Aus [mm]x_n[/mm] = [mm]t_n\wurzel{a}[/mm] folgt [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\left(x_n +\bruch{a}{x_n}\right)[/mm] =
>
> Also: [mm]\bruch{1}{2}(x_n[/mm] + [mm]\bruch{a}{x_n})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(\wurzel{a}[/mm] + [mm]\bruch{a}{\wurzel{a}})[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2}\left( t_n\wurzel{a}+ \bruch{a}{t_n\wurzel{a}} \right) [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\left( t_n\wurzel{a} + \bruch{\wurzel{a}}{t_n} \right) [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\left( t_n + \bruch{1}{t_n} \right) *\wurzel{a}[/mm] [mm] $\Rightarrow$ $t_{n+1}$ [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\left( t_n + \bruch{1}{t_n} \right) [/mm]
>
>
> Schritt 2:
>
> [mm]x_n[/mm] = [mm]x_n+1[/mm]
>
> [mm]x_n+1 -x_n[/mm] = [mm]{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) - x_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) - x_n)}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n)}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{((\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n}) -x_n) + ((\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n}) + x_n)}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{2x_n}) + x_n}[/mm]
> = [mm]{\bruch{(\bruch{x_n}{2} + \bruch{a}{2x_n})^2 -x_n^2}{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\bruch{x_n}{2}+\bruch{a}{2x_n}-x_n^2}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\bruch{x_n}{2}+(\bruch{a}{2x_n}-\bruch{a}{2x_n})-x_n^2}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n})- x_n (1 + x_n)}{{\bruch{1}{2}(x_n + \bruch{a}{x_n}) + x_n}}[/mm]
>
> so und ab hier komme ich nicht mehr weiter! wie das
> ergebnis formal aussehen muss weiss ich, aber komm einfach
> nicht drauf wie das gehen soll. oder hab ich einen komplett
> falschen ansatz verwendet?
Jetzt Monotonie der [mm]t_n[/mm] nachweisen und nutzen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Lg Era
>
> Danke schonmal für euer bemühen
Gruß
meili
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