Beweis Skalarprodukt / Betrag < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Zeigen Sie: Für alle [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^n [/mm] gilt:
[mm] \left| \vec{x} + \vec{y} \right|^2 [/mm] - [mm] \left| \vec{x} - \vec{x} \right|^2 [/mm] = [mm] 4\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle
[/mm]
2. Welchen geometrischen Sachverhalt beschreibt diese Gleichung im Fall n = 2, falls [mm] \left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle [/mm] = 0 gilt? |
Hallo Forum,
ich bin wie folgt an oben stehende Aufgabe ran gegangen:
Aufgabe 1:
Der Betrag ist ja definiert als [mm] \left| \vec{x} \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\vec{x}^2}.
[/mm]
Nun dachte ich, ich kann den linken Teil der Gleichung mit Hilfe der Binomischen Formel auflösen und erhalten dann:
[mm] 4\left| \vec{x} \vec{y} \right| [/mm] = 4 [mm] \left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle
[/mm]
und da ja 4 [mm] \left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle [/mm] eigentlich [mm] 4\vec{x}\vec{y} [/mm] ist (Idee: Skalarprodukt bilden), steht da:
[mm] 4\vec{x}\vec{y} [/mm] = [mm] 4\vec{x}\vec{y}
[/mm]
nun scheint mir die Lösung aber zu einfach. Außerdem habe ich [mm] \left| \vec{x} \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\vec{x}^2} [/mm] nicht auf der rechten Seite der Gleichung miteingezogen. Hilfe ?
Zu 2.
Dachte eigentlich der Geometrische Sachverhalt ist die Orthogonalität. Ist aber leider falsch.
Daher die Frage, was genau bedeutet n=0?
Bin für jeden Beitrag dankbar!
Grüße
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Hi,
> 1. Zeigen Sie: Für alle [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^n[/mm] gilt:
>
> [mm]\left| \vec{x} + \vec{y} \right|^2[/mm] - [mm]\left| \vec{x} - \green{\vec{y}} \right|^2[/mm]
> = [mm]4\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle[/mm]
>
> 2. Welchen geometrischen Sachverhalt beschreibt diese
> Gleichung im Fall n = 2, falls [mm]\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle[/mm]
> = 0 gilt?
> Hallo Forum,
>
> ich bin wie folgt an oben stehende Aufgabe ran gegangen:
>
> Aufgabe 1:
> Der Betrag ist ja definiert als [mm]\left| \vec{x} \right|[/mm] =
> [mm]\wurzel{\vec{x}^2}.[/mm]
Jein. Außerdem geht es hier um die Norm, da es sich hierbei um Vektoren handelt. [mm]||\vec{x}||=||\vec{x}||_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2}[/mm]
Außerdem gilt [mm]||\vec{x}||^2=\left\langle \vec{x}, \vec{x} \right\rangle[/mm].
>
> Nun dachte ich, ich kann den linken Teil der Gleichung mit
> Hilfe der Binomischen Formel auflösen und erhalten dann:
Binomische Formel klingt nach keiner guten Idee.
>
> [mm]4\left| \vec{x} \vec{y} \right|[/mm] = 4 [mm]\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle[/mm]
Die Struktur sieht schon nicht gut aus.
>
> und da ja 4 [mm]\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle[/mm]
> eigentlich [mm]4\vec{x}\vec{y}[/mm] ist (Idee: Skalarprodukt
> bilden), steht da:
[mm]\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle[/mm] ist das Skalarprodukt.
>
> [mm]4\vec{x}\vec{y}[/mm] = [mm]4\vec{x}\vec{y}[/mm]
>
> nun scheint mir die Lösung aber zu einfach. Außerdem habe
> ich [mm]\left| \vec{x} \right|[/mm] = [mm]\wurzel{\vec{x}^2}[/mm] nicht auf
> der rechten Seite der Gleichung miteingezogen. Hilfe ?
>
> Zu 2.
>
> Dachte eigentlich der Geometrische Sachverhalt ist die
> Orthogonalität. Ist aber leider falsch.
> Daher die Frage, was genau bedeutet n=0?
n=2. [mm]\left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle = 0\gdw \vec{x} \perp \vec{y}[/mm] stimmt schon. Es ist ja
[mm] \cos \left(\vec x,\vec y\right)=\frac{\vec x\cdot\vec y}{\left|\vec x\right|\,\left|\vec y\right|}=0\gdw \vec x\cdot\vec y = 0[/mm]
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> Bin für jeden Beitrag dankbar!
>
> Grüße
>
Probier folgendes
[mm]\left|| \vec{x} + \vec{y} \right||^2 - \left|| \vec{x} - \green{\vec{y}} \right||^2[/mm]
und setze [mm] $||z||^2=\left\langle \vec{z}, \vec{z} \right\rangle$
[/mm]
Der Rest sollte leicht folgen.
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vielen Dank für deine Antwort!
Hast du mir vielleicht auch einen Ansatz wie ich bei 1) anfangen sollte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
beihnahe wie du es gemacht hast nur eben den Betrag als Skalarprodukt schreiben.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mi 10.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hab ich doch geschrieben:
" Probier folgendes
[mm] \left|| \vec{x} + \vec{y} \right||^2 - \left|| \vec{x} - \green{\vec{y}} \right||^2 [/mm]
und setze [mm] ||z||^2=\left\langle \vec{z}, \vec{z} \right\rangle [/mm]"
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