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Bestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Sa 09.02.2008
Autor: upskuhr

Aufgabe
[mm] \left[\bruch{1}{2} e^{2x} \right]^{ln(2)}_{ln(\bruch{1}{2})}=2-\bruch{1}{8} [/mm]

Hallo,

obige Formel steht bei uns in einer Musterlösung. Leider kann ich sie nicht nachvollziehen.
Mein Ansatz wäre folgender

[mm] \left[\bruch{1}{2} e^{2x} \right]^{ln(2)}_{ln(\bruch{1}{2})} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}e^2e^{ln(2)}-\bruch{1}{2}e^2e^{ln(\bruch{1}{2})} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}e^2 2-\bruch{1}{2}e^2 \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] =e^2-\bruch{1}{4}e^2 [/mm]

        
Bezug
Bestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Sa 09.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo upskuhr,


es ist doch [mm] $e^{a\cdot{}b}\neq e^{a}\cdot{}e^b$ [/mm]

Du hast im Exponenten [mm] $2\cdot{}x$ [/mm] stehen

Also [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}e^{2\cdot{}\ln(2)}-\frac{1}{2}\cdot{}e^{2\cdot{}\ln(\frac{1}{2})}$ [/mm]

Nun denke an das Logarithmusgesetz [mm] $\ln(a^b)=b\cdot{}\ln(a)$ [/mm] und du bekommst

[mm] $=\frac{1}{2}e^{\ln(4)}-\frac{1}{2}e^{\ln(\frac{1}{4})}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(4-\frac{1}{4}\right)=2-\frac{1}{8}$ [/mm]




Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Bestimmtes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Sa 09.02.2008
Autor: abakus


> Hallo upskuhr,
>  
>
> es ist doch [mm]e^{a\cdot{}b}\neq e^{a}\cdot{}e^b[/mm]
>  
> Du hast im Exponenten [mm]2\cdot{}x[/mm] stehen
>  
> Also
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}e^{2\cdot{}\ln(2)}-\frac{1}{2}\cdot{}e^{2\cdot{}\ln(\frac{1}{2})}[/mm]

Hier würde ich lieber die Faktoren im Exponenten tauschen
[mm]=\frac{1}{2}\cdot{}e^{\ln(2)\cdot{}2}-\frac{1}{2}\cdot{}e^{\ln(\frac{1}{2})\cdot{}2}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{\ln(2)}\right)^2 -\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{\ln(\frac{1}{2})\right)^2[/mm]

Da e- und ln-Funktion Umkehrfunktionen sind, bleibt in den beiden Klammern 2 bzw. 1/2 übrig.


>  
> Nun denke an das Logarithmusgesetz [mm]\ln(a^b)=b\cdot{}\ln(a)[/mm]
> und du bekommst
>  
> [mm]=\frac{1}{2}e^{\ln(4)}-\frac{1}{2}e^{\ln(\frac{1}{4})}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(4-\frac{1}{4}\right)=2-\frac{1}{8}[/mm]
>  
>
>
>
> Gruß
>  
> schachuzipus


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