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| Aufgabe | Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] sei [mm] $V:=\{p\in \IR[ t ]\ |\ deg(p)\le n\}$. [/mm] Zeige, dass die Abbildung
[mm] $\phi:V\to V^{\*}, p\mapsto\left[q\mapsto \sum_{i=0}^{n}p(i)*q(i)\right]$
[/mm]
ein Isomorphismus ist. [mm] $V^{\*}:= Hom_{\IR}(V,\IR)$ [/mm] bezeichnet dabei den Dualraum von V. |
Hallo!
Ich habe bereits nachweisen können, dass die Abbildung linear ist. Ich wollte mich nun an der Injektivität versuchen. Ich muss also zeigen, dass [mm] $Kern(\phi) [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] nur das Nullpolynom ist.
Sei [mm] $p\in Kern(\phi)$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \phi(p) [/mm] = 0$.
[mm] $\Rightarrow [\phi(p)](q) [/mm] = 0$ für alle [mm] $q\in \IR[ [/mm] t ]$
[mm] $\Rightarrow \sum_{i=0}^{n}p(i)*q(i) [/mm] = 0$ für alle [mm] $q\in\IR[ [/mm] t ]$.
Daraus muss ich jetzt folgern, dass p nur das Nullpolynom sein kann. Habe ich das erstmal richtig "entschlüsselt"?
Dazu habe ich folgende Idee: Setze q = p. Dies ist möglich, weil beide Polynome aus demselben Vektorraum kommen. Dann steht da:
[mm] $\Rightarrow \sum_{i=0}^{n}p^{2}(i) [/mm] = 0$
Das bedeutet $p(i) = 0$ für alle i = 0,...,n. Das wiederum heißt aber, dass (n+1) die Anzahl der Nullstellen von p ist. p ist aber nur vom Grad n, womit folgt: p = 0.
Frage 1: Ist das so okay?
Frage 2: Wenn nicht von 0 bis n, sondern nur von 0 bis n-1 aufsummiert worden wäre, hätte das Argument nicht funktioniert. Ich nehme aber an, dass dann auch die Surjektivität nicht erfüllt wäre?
Nun wollte ich die Surjektivität folgern, d.h. ich muss zeigen: [mm] $dim(Bild(\phi)) [/mm] = [mm] dim(V^{\*})$.
[/mm]
Die Surjektivität dürfte aber direkt aus [mm] $\dim(V) [/mm] = [mm] \dim(V^{\*})< \infty$ [/mm] folgen, oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 So 25.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo Stefan,
> Für [mm]n\in\IN[/mm] sei [mm]V:=\{p\in \IR[ t ]\ |\ deg(p)\le n\}[/mm].
> Zeige, dass die Abbildung
>
> [mm]\phi:V\to V^{\*}, p\mapsto\left[q\mapsto \sum_{i=0}^{n}p(i)*q(i)\right][/mm]
>
> ein Isomorphismus ist. [mm]V^{\*}:= Hom_{\IR}(V,\IR)[/mm] bezeichnet
> dabei den Dualraum von V.
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe stecke ich, glaube ich, fest.
> Ich habe bereits nachweisen können, dass die Abbildung
> linear ist. Da V für jedes [mm]n\in\IN[/mm] endlichdimensional ist,
> müsste es ausreichen, wenn ich entweder Injektivität oder
> Surjektivität für [mm]\phi[/mm] zeige (Dimensionsformel?).
>
> Ungeachtet dessen wollte ich mich an der Injektivität
> versuchen. Ich muss also zeigen, dass [mm]Kern(\phi) = \{0\}[/mm]
> nur das Nullpolynom ist.
>
> Sei [mm]p\in Kern(\phi)[/mm]. Das bedeutet:
>
> [mm]\phi(p) = 0[/mm], d.h.
>
> [mm][\phi(p)](q) = 0[/mm] für alle [mm]q\in \IR[ t ][/mm], d.h.
>
> [mm]\sum_{i=0}^{n}p(i)*q(i) = 0[/mm] für alle [mm]q\in\IR[ t ][/mm].
>
> Daraus muss ich jetzt folgern, dass p nur das Nullpolynom
> sein kann. Habe ich das erstmal richtig "entschlüsselt"?
>
> ...Und ehrlich gesagt hänge ich jetzt auch schon. Wie kann
> ich das zeigen? - ein kleiner Tipp würde reichen 
das sieht bis jetzt gut aus. um weiter zu kommen könnte man vielleicht geeignete "tespolynome" $q$ wählen. sagen dir die lagrange polynome etwas?
grüße
andreas
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Hallo andreas,
danke für deine Antwort
Ja, Lagrange-Polynome sagen mir etwas. Ich wüsste aber nicht genau, wie ich damit zur Lösung käme.
Habe meine Frage zwischenzeitlich modifiziert, und glaube die Lösung gefunden zu haben - stimmt sie?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 25.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
> Frage 1: Ist das so okay?
ja, das sieht sehr gut aus und ist auch deutlich eleganter als mein ansatz.
> Frage 2: Wenn nicht von 0 bis n, sondern nur von 0 bis n-1
> aufsummiert worden wäre, hätte das Argument nicht
> funktioniert. Ich nehme aber an, dass dann auch die
> Surjektivität nicht erfüllt wäre?
genau. hier ist vielleicht auch die nicht injektivität leichter zu sehen: das lagrangepolynom [mm] $\ell_{n}(x) [/mm] = [mm] \prod_{j=0}^{n-1} \frac{x-j}{n-j}$ [/mm] liegt im kern.
> Nun wollte ich die Surjektivität folgern, d.h. ich muss
> zeigen: [mm]dim(Bild(\phi)) = dim(V^{\*})[/mm].
> Die Surjektivität
> dürfte aber direkt aus [mm]\dim(V) = \dim(V^{\*})< \infty[/mm]
> folgen, oder?
jep.
grüße
andreas
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Hallo andreas,
danke für deine Hilfe und auch für deinen Tipp mit den Lagrange-Polynomen!
Grüße,
Stefan
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