Automorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Di 17.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo zusammen!
Ich soll folgendes zeigen:
Sei G eine Gruppe von Primzahlordnung q. Zeige: [mm]Aut(G) \cong \IZ / (q-1) \IZ [/mm] und gib einen Isomorphimsus explizit an!
Also ich habe mir Folgendes dazu gedacht: Weil G Primzahlordnung q hat, ist G zyklisch und $g [mm] \in [/mm] G$ sei ein Erzeuger von G.
Dann gilt $G = < g > = [mm] \{ e, g, g^2, g^3 , ... , g^{q-1} \}$
[/mm]
Die Frage ist jetzt, wie ich mir die Automorphismen konstriere...
Wenn man das hat könnte man ja die Potenz von g der entsprechenden Restklasse modulo (q-1) zuordnen und hätte den Isomorphismus.. oder? Wie kann man das formal sauber aufschreiben?
Gruß Micha 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Ein Automomorphismus [mm] $\varphi \in [/mm] Aut(G)$ ist durch die Festlegung von [mm] $\varphi(g)$ [/mm] eindeutig bestimmt, da $G$ von $g$ erzeugt wird. Es gilt:
[mm] $\varphi(g) [/mm] = [mm] g^{k_{\varphi}}$
[/mm]
für ein [mm] $k_\varphi \in \{1,2,\ldots,q-1\}$.
[/mm]
Betrachte nun
[mm] $\psi [/mm] : [mm] \begin{array}{ccccc} Aut(G) & \to & \left( \left( \IZ/q\IZ \right)^{\star},\cdot \right) & \to & \left( \IZ/(q-1)\IZ ,+ \right) \\[5pt] \varphi & \mapsto & k_{\varphi} & \mapsto & \beta(k_{\varphi}) \end{array}$,
[/mm]
wobei [mm] $\beta:\left( \left( \IZ/q\IZ \right)^{\star},\cdot \right) \to \left( \IZ/(q-1)\IZ ,+ \right)$ [/mm] der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit [mm] $\beta(q-1)=1$ [/mm] ist (beachte: ein Erzeugendes wird auf ein Erzeugendes der beiden zyklischen Gruppen abgebildet).
Wegen
[mm] $(\varphi'\varphi)(g) [/mm] = [mm] \varphi' \left(g^{k_{\varphi}} \right) [/mm] = [mm] \left(\varphi'(g)\right)^{k_{\varphi}} [/mm] = [mm] \left(g^{k_{\varphi'}} \right)^{k_{\varphi}} [/mm] = [mm] g^{k_{\varphi'} + k_{\varphi}}$
[/mm]
ist die erste Abbildung ein Gruppenhomomorphismus (die Bijektivität habe ich ja oben schon erwähnt).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
