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Hallo,
in diversen Büchern habe ich leicht unterschiedliche Definitionen der Automorphismengruppe der oberen Halbebene gefunden.
Folgende Versionen habe ich gefunden:
[mm]Aut(H) := \{f(z) = \bruch{az + b}{cz + d} : a, b, c, d \in \IR; ad -bc = 0\}[/mm]
[mm]Aut(H) := \{f(z) = \bruch{az + b}{cz + d} : a, b, c, d \in \IR; ad -bc > 0\}[/mm]
Muss nun [mm]ad - bc[/mm] größer 0 oder gleich 1 sein, und worin begründet sich diese Bedingung?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 10.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> in diversen Büchern habe ich leicht unterschiedliche
> Definitionen der Automorphismengruppe der oberen Halbebene
> gefunden.
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> Folgende Versionen habe ich gefunden:
> [mm]Aut(H) := \{f(z) = \bruch{az + b}{cz + d} : a, b, c, d \in \IR; ad -bc = 0\}[/mm]
Ich vermute mal, hier soll es $= 1$ heissen?
> [mm]Aut(H) := \{f(z) = \bruch{az + b}{cz + d} : a, b, c, d \in \IR; ad -bc > 0\}[/mm]
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> Muss nun [mm]ad - bc[/mm] größer 0 oder gleich 1 sein, und worin
> begründet sich diese Bedingung?
Wenn du $(a, b, c, d)$ mit [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$ multiplizierst, dann aendert dies nichts an der Funktion [mm] $\gamma_{(a,b,c,d)}(z) [/mm] = [mm] \frac{a z + b}{c z + d}$. [/mm] Der Wert $a d - b c$ wird dann mit [mm] $\lambda^2 [/mm] > 0$ multipliziert.
Wenn du [mm] $\lambda [/mm] := [mm] \frac{1}{\sqrt{a d - b c}}$ [/mm] waehlst, bekommst du die gleiche Funktion, aber mit $a d - b c = 1$.
LG Felix
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