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| Aufgabe | Es sei [mm] (\delta_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reellwertige Folge und [mm] (X_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen. Man schreibt [mm] $X_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n})$, [/mm] falls gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K \right) \ge [/mm] 1- [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Zeige:
[mm] $X_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n}), Y_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\gamma_{n}) \Rightarrow X_{n}*Y_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n}*\gamma_{n})$ [/mm] und [mm] $X_{n}+Y_{n}=O_{P}(max(\delta_{n},\gamma_{n}))$ [/mm] |
Hallo!
Ich denke, dass diese Aufgabe relativ einfach ist, aber trotzdem habe ich meine Probleme damit.
Den ersten Teil habe ich glaube ich hinbekommen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.
Nach Voraussetzung existiert [mm] K_{1}\in\IN [/mm] und [mm] N_{1}\in\IN [/mm] sodass [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right) [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n>N_{1}, [/mm] und es existiert [mm] K_{2}\in\IN [/mm] und [mm] N_{2}\in\IN [/mm] sodass [mm] P\left(\left|\frac{Y_{n}}{\gamma_{n}}\right|> K_{2} \right) [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n>N_{2}.
[/mm]
Wähle $K = [mm] K_{1}*K_{2}$, $n_{0}=max(N_{1},N_{2})$. [/mm] Dann ist für $n [mm] \ge n_{0}$:
[/mm]
[mm] $P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2} \right) [/mm] $
$= [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2},\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K_{1} \right) [/mm] + [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2},\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right)$
[/mm]
wegen weniger Bedingungen (größere Mengen in den P(...)) gilt nun:
[mm] $\le P\left(\left|\frac{Y_{n}}{\gamma_{n}}\right|>K_{2}\right) [/mm] + [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right)$
[/mm]
$< [mm] \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$, [/mm]
also ist
[mm] $P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|\le K_{1}*K_{2} \right) \ge 1-\varepsilon$.
[/mm]
Stimmt das?
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | > Es sei [mm](\delta_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine reellwertige Folge und
> [mm](X_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reellwertiger
> Zufallsvariablen. Man schreibt [mm]X_{n} = O_{P}(\delta_{n})[/mm],
> falls gilt:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K \right) \ge 1- \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> Zeige:
X_{n} konvergiert stochastisch gegen c \Rightarrow X_{n}=O_{P}(1). |
Hallo!
Bei dieser Teilaufgabe komme ich irgendwie ueberhaupt nicht weiter. Ich weiß, dass X_{n} stochastisch gegen c geht, also:
$\lim_{n\to\infty}P(|X_{n}-c|\ge L) = 0$
für alle $L > 0$, also nochmal mit \varepsilon:
$\forall \varepsilon > 0\exists N\in\IN:\forall n\ge N: P(|X_{n}-c|\ge L) \le \varepsilon$
für alle $L > 0$.
Und ich muss zeigen:
$\forall \varepsilon>0 \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(|\frac{X_{n}|> K \right) \le \varepsilon$.
Im Falle $c = 0$; ist die Aussage dann wirklich so offensichtlich, wie mir das scheint? Dass ich dann sozusagen K >0 beliebig wählen kann, weil dann doch eigentlich genau das von oben steht, oder?
Aber wie muss ich im Fall $c\not= 0$ vorgehen?
Kann ich dann einfach K = c wählen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 04.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
bin weiterhin an der Beantwortung der Fragen interessiert 
Grüße und danke für Eure Hilfe!
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 03.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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