Art des Extremwertes < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 11.11.2007 | | Autor: | Annybabe |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2 / [mm] (x^2+1) [/mm]
--> Der Punkt Q (u/v) auf dem Graphen von f und der Punkt P (u/0) sind Ecken eines zur y-Achse symmetrischen Rechtecks. Bei welchen Werten für u ist der Flächeninhalt des Rechtecks ein Extremwert? Um welche Art von Extremwert handelt es sich? |
Hallo an alle,
die Thematik "Extremwerte" haben wir im Unterricht noch nicht wirklich behandelt, sollen uns nun aber an dieser Aufgabe versuchen.
Leider habe ich dieses mal gar keine Ahnung, wie ich vorgehen soll!
Für Tipps, Hilfestellungen und Erläuterungen (welche Arten von Extremwerten gibt es denn überhaupt?), wäre ich sehr dankbar!
Vielen Dank schonmal,
LG, Anny
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Hallo Anny!
Zunächst einmal solltest Du Dir eine Skizze mit der genannten Funktion und dem beschriebenen Rechteck machen.
Der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seiten $a_$ und $b_$ wird ermittelt zu:
[mm] $$A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ a*b$$
Auf Deiner Skizze solltest Du nun erkennen, dass das Rechteck eine Breite von $b \ = \ 2*u$ hat. Die entsprechende Höhe wird gebildet durch den Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ u$ ; also: $a \ = \ f(u) \ = \ [mm] \bruch{2}{u^2+1}$ [/mm] .
Wenn wir das nun in die o.g. Flächenformel einsetzen, erhalten wir eine Funktion in Abhämgigkeit vom Wert $u_$ :
$$A(u) \ = \ [mm] \bruch{2}{u^2+1}*2u [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4u^2}{u^2+1}$$
[/mm]
Für diese Funktion ist nun die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchzuführen.
Gruß vom
Roadrunner
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