Anwendung Satz von Rolle < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Mi 26.11.2008 | | Autor: | mercator |
| Aufgabe | Seien q, [mm] f_1, f_2 [/mm] stetig im Intervall [a,b], q<0, [mm] f_1 [/mm] <= [mm] f_2. [/mm] Zeigen Sie, dass für die Lösungen [mm] y_1, y_2 [/mm] die Randwertaufgabe
[mm] y_i''+q(x)y_i [/mm] = [mm] f_i(x) [/mm] a<=x<=b, f(a)=f(b)=0
gilt [mm] y_1>=y_2 [/mm] |
Hallo,
ich soll hier den Satz von Rolle anwenden. Dann hab ich eine NST der 1. Ableitung wo soll ich das anwenden? Umformen hilft bei mir auch nicht weiter
kann mir jemand einen tipp geben?
LG mercator!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 26.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo mercator,
folgenden Lösungsweg schlage ich vor:
Zunächst ist die RWA linearer Natur, d.h. man kann das Ganze auf die Differenzfunktion y(x) := [mm] (y_{1} [/mm] - [mm] y_{2})(x) [/mm] und deren Positivität reduzieren.
Der Beweis sollte indirekt funktionieren, nimm also an, dass es ein x [mm] \in [/mm] [a, b] gibt, für das gilt y(x) < 0. Wegen der Stetigkeit von y ist y damit auch in einem ganzen Intervall [mm] (\alpha, \beta) \subseteq [/mm] [a, b] negativ und [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] können so gewählt werden, das [mm] y(\alpha) [/mm] und [mm] y(\beta) [/mm] = 0 sind.
Dann löst man die DGl nach y'' auf und schreibt sie so um, dass y' als Integral (*) von [mm] \alpha [/mm] nach x dasteht.
Dann wendet man auf y in den Grenzen von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] den Satz von Rolle an und schliesst, dass für ein [mm] \xi \in (\alpha, \beta) [/mm]
[mm] y(\xi) [/mm] = 0 ist.
Andererseits ist der Integrand von (*) insgesamt < 0 , was zu einem Widerspruch führt.
Gruß
Uli
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