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Analysis Klausur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Di 03.03.2015
Autor: OxOO1

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ [/mm]

Bei dieser Aufgabe habe ich definitv einen Fehler gemacht während der Klausur, dieser ist mir aber immerhin jetzt aufgefallen hoffe ich. Ich rechne mal vor wie ich den Grenzwert bestimmen würde:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} [/mm] = [mm] \frac{1-1-0}{0} [/mm] = [mm] \frac{0}{0}$. [/mm]

Durch den Erhalt dieses unbestimmten Ausdrucks nutzen wir die Regel von L'Hospital und berechnen zuerst einmal die Ableitungen $f'(x)$ und $g'(x)$.

$f'(x) = [mm] e^x-1$ [/mm]
$g'(x) = 2x$

Jetzt berechnen wir:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{2x} [/mm] = [mm] \frac{0}{0}$ [/mm]

Wir erhalten wieder einen unbestimmten Ausdruck und wenden erneut L'Hospital an indem wir zuerst ein weiteres mal ableiten:

$f''(x) = [mm] e^x$ [/mm]
$g''(x) = 2$

Wir berechnen erneut:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

Der Grenzwert liegt also bei [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm]

        
Bezug
Analysis Klausur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Di 03.03.2015
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}[/mm]
>  
> Bei dieser Aufgabe habe ich definitv einen Fehler gemacht
> während der Klausur, dieser ist mir aber immerhin jetzt
> aufgefallen hoffe ich. Ich rechne mal vor wie ich den
> Grenzwert bestimmen würde:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac{1-1-0}{0} = \frac{0}{0}[/mm].
>  
> Durch den Erhalt dieses unbestimmten Ausdrucks nutzen wir
> die Regel von L'Hospital und berechnen zuerst einmal die
> Ableitungen [mm]f'(x)[/mm] und [mm]g'(x)[/mm].
>  
> [mm]f'(x) = e^x-1[/mm]
>  [mm]g'(x) = 2x[/mm]
>  
> Jetzt berechnen wir:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{2x} = \frac{0}{0}[/mm]
>  
> Wir erhalten wieder einen unbestimmten Ausdruck und wenden
> erneut L'Hospital an indem wir zuerst ein weiteres mal
> ableiten:
>  
> [mm]f''(x) = e^x[/mm]
>  [mm]g''(x) = 2[/mm]
>  
> Wir berechnen erneut:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}[/mm]
>  
> Der Grenzwert liegt also bei [mm]\frac{1}{2}[/mm].

Alles richtig

FRED


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