Abschätzung holomorphe Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Roodie |
| Aufgabe | Sei [mm] $B(z_0,r)$ [/mm] der Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius $r$. Die Funktion [mm] $f:B(z_0,r)\rightarrow\IC$ [/mm] sei holomorph mit $f(0)=0$ und [mm] $|f(z)|\leq [/mm] e$.
Zeigen Sie, dass [mm] $|f(z)|\leq \frac{e\cdot|z-z_0|}{r} [/mm] gilt. |
Hallo!
Diese Aufgabe macht mir momentan zu schaffen. Ich habe mit dem Cauchyschen Integralsatz versucht, die Funktion abzuschätzen, bekomme jedoch mit der Standardabschätzung für Integrale nur folgendes raus:
[mm] $|f(z)|=|\frac{1}{2pi}\int_{\partial B(z_0,r)}\frac{f(\varphi)}{\varphi -z}d\varphi|\leq\frac{1}{2\pi} L(B(z_0,r)) max({\frac{f(\varphi)}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq\frac{2\pi r}{2\pi}\cdot e\cdot max({\frac{1}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq r\cdot e\cdot \frac{1}{r-|z-z_0|}$
[/mm]
Das passt irgendwie nicht zusammen.
Ich habe außerdem versucht, den Kreis [mm] B(z_0,r) [/mm] biholomorph auf den Einheitskreis abzubilden und die Eigenschaft dann dort zu zeigen. aber auch für den Fall [mm] z_0=0 [/mm] und $r=1$ bekomme ich nicht das Richtige raus.
Wie kann ich weitermachen? Hat jemand einen Tipp?
Grüße!
R00d
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Fr 31.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]B(z_0,r)[/mm] der Kreis um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]r[/mm]. Die Funktion
> [mm]f:B(z_0,r)\rightarrow\IC[/mm] sei holomorph mit [mm]f(0)=0[/mm]
Hast Du Dich vertippt ? Steht da nicht [mm] f(z_0)=0 [/mm] ?
> und
> [mm]|f(z)|\leq e[/mm].
Ich vermute, dass das für alle z aus [mm] B(z_0,r) [/mm] gelten soll, richtig ?
> Zeigen Sie, dass [mm]$|f(z)|\leq \frac{e\cdot|z-z_0|}{r}[/mm]
> gilt.
> Hallo!
>
> Diese Aufgabe macht mir momentan zu schaffen. Ich habe mit
> dem Cauchyschen Integralsatz versucht, die Funktion
> abzuschätzen, bekomme jedoch mit der Standardabschätzung
> für Integrale nur folgendes raus:
>
> [mm]|f(z)|=|\frac{1}{2pi}\int_{\partial B(z_0,r)}\frac{f(\varphi)}{\varphi -z}d\varphi|
> \leq\frac{1}{2\pi} L(B(z_0,r)) max({\frac{f(\varphi)}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq\frac{2\pi r}{2\pi}\cdot e\cdot max({\frac{1}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq r\cdot e\cdot \frac{1}{r-|z-z_0|}[/mm]
Das geht ja schon mal in die Hose ! [mm] \partial B(z_0,r) [/mm] gehört nicht zum Def. -Bereich von f !
>
> Das passt irgendwie nicht zusammen.
> Ich habe außerdem versucht, den Kreis [mm]B(z_0,r)[/mm]
> biholomorph auf den Einheitskreis abzubilden und die
> Eigenschaft dann dort zu zeigen. aber auch für den Fall
> [mm]z_0=0[/mm] und [mm]r=1[/mm] bekomme ich nicht das Richtige raus.
Die Idee ist nicht schlecht ! Definiere [mm] \phi:B(z_0,r) \to [/mm] B(0,1) durch
[mm] \phi(z)=\bruch{z-z_0}{r}
[/mm]
und g:B(0,1) [mm] \to \IC [/mm] durch [mm] g:=\bruch{1}{e}(f \circ \phi^{-1}).
[/mm]
Zeige, dass g die Voraussetzungen des Lemmas von Schwarz erfüllt.
Damit haben wir: (*) |g(z)| [mm] \le [/mm] |z| für alle z mit |z|<1
Löse die Def. - Gleichung von g nach f auf und benutze (*)
FRED
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> Wie kann ich weitermachen? Hat jemand einen Tipp?
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> Grüße!
> R00d
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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