Abschätzen mit Stirling Formel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 So 21.08.2005 | | Autor: | anni0804 |
Hallo,
ich mache zur Zeit ein Seminar zur Numerischen Mathematik zum Thema Gibbs Phänomen. Mein Problem betrifft aber eher meine Analysis-Kenntnisse. In meinem Originalaufsatz gibt es einen Beweis, den ich verstanden haben und auch erklären soll. Eine Abschätzung bereitet mir aber Schwierigkeiten. Diese Abschätzung soll mit der Stirlingschen Formel [mm] (2\pi )^\bruch{1}{2} x^{x+\bruch{1}{2}} e^{-x} \le \Gamma [/mm] (x+1) [mm] \le (2\pi )^\bruch{1}{2} x^{x+\bruch{1}{2}} e^{-x} e^{\bruch{1}{12x}} [/mm] gemacht werden. Und zwar geht es um : [mm] \max_{-1\le x\le 1} [/mm] |f(x)| [mm] \left[ (m+1) \wurzel{\bruch{(m+\lambda )\Gamma(m+2\lambda)}{\lambda m! \Gamma(2\lambda)}} \right] \le [/mm] A [mm] \max_{-1\le x\le 1} [/mm] |f(x)| [mm] \left[ m \wurzel{\bruch{(m+\lambda)(m+2\lambda)^{m+2\lambda}}{\lambda m^m (2\lambda)^{2\lambda}}} \right]. [/mm] Hierbei ist A eine Konstante und [mm] \Gamma [/mm] bezeichnet die Gamma-Funktion.
Vielleicht hat jemand eine Idee und kann mir helfen, wie man die Stirling Formel anwendet und den Rest der Abschätzung macht.
Danke !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Anni!
Nach Stirling gibt es positive Konstanten [mm] $C_1$ [/mm] und [mm] $C_2$ [/mm] und $M$, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \ge [/mm] M$
[mm] $e^{-x} \cdot C_2 \cdot \sqrt{2\pi x} \cdot x^x \le \Gamma(x) \le C_1 \cdot \sqrt{2\pi x} \cdot x^x \cdot e^{-x}$ [/mm]
gilt, denn [mm] $\Gamma(x) \sim x^x \cdot e^{-x} \cdot \sqrt{2\pi x}$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn du jetzt noch im Nenner [mm] $m!=\Gamma(m+1)$ [/mm] beachtest, steht es quasi da.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 22.08.2005 | | Autor: | anni0804 |
Danke erstmal. Hat mir schon geholfen, aber eine Frage (vielleicht blöd) bleibt mir noch.
Wie komme ich auf den Vorfaktor m (vor der Wurzel), wenn vorher der Vorfaktor m+1 war ?
Und gilt nicht: [mm] m!=\Gamma [/mm] (m+1) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Di 23.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Anni!
> Danke erstmal. Hat mir schon geholfen, aber eine Frage
> (vielleicht blöd) bleibt mir noch.
> Wie komme ich auf den Vorfaktor m (vor der Wurzel), wenn
> vorher der Vorfaktor m+1 war ?
Das ist egal. Schließlich gibt es eine Konstante $C>0$ mit $m+1 [mm] \le [/mm] C [mm] \cdot [/mm] m$ für alle $m$; diese Konstante kann man ja dann mit den ganzen anderen Konstanten "verwurschteln".
> Und gilt nicht: [mm]m!=\Gamma[/mm] (m+1) ?
Das war ein Schreibfehler meinerseits, den ich jetzt verbessert habe. 
Viele Grüße
Julius
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