Ableitung Logarhytmusfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Leute!
Ich möchte von folgender (Nutzen-)Funktion die Grenzrate der Substitution bestimmen:
[mm] U(C_{1},C_{2})=log(C_{1})+(\bruch{1}{1+x})*log (C_{2})
[/mm]
So, Grenzrate der Substitiution wird ja bestimmt, indem ich die Funktion partiell zu den beiden C's ableite, also
[mm] \bruch{dU}{dC_{2}}
[/mm]
und
[mm] \bruch{dU}{dC_{1}}
[/mm]
und diese dann durcheinander teile:
[mm] \bruch{dC_{2}}{dC_{1}}
[/mm]
Das Endergebnis soll sein:
[mm] \bruch{dC_{2}}{dC_{1}}=(1/C_{1})/(1/1+x)*(1/C_{2})=(1+x)\bruch{C_{2}}{C_{1}}
[/mm]
Mein Problem nun:
Ich weiß nicht genau, wie man die log-Funktion ableitet und wundere mich, wie für [mm] \bruch{dU}{dC_{2}} [/mm] = [mm] (1/C_{1}) [/mm] herauskommen kann, denn so sieht es doch aus, oder? Da die beiden C's in der Ausgangsfunktion doch mit einem Summenzeichen verbunden sind, wäre ich (egal, wie die logarithmen abegeleitet werden, davon ausgegagen, dass das [mm] C_{1} [/mm] beim ableiten nach [mm] C_{2} [/mm] wegfallen müsste.
Lange rede, kurzer Sinn: Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp zur Ableitung der Log-Funktion geben könnte ;))
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hallo Alice,
Zur Ableitung der log-Fu.:
Die Funktion log: [mm] (0;\infty)\rightarrow \IR, x\mapsto [/mm] log(x)
ist von der Klasse [mm] C^{\infty} [/mm] und es gilt: [mm] log'(x)=\frac{1}{x}.
[/mm]
Das folgt entweder aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion, nämlich wenn man log als Umkehrfunktion von exp definiert hat, oder aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, wenn man log wie folgt definiert hat:
[mm] log(x):=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} [/mm] dt
Wenn man dies dann anwendet, kommt man auf genau das Endergebnis, dass du angegeben hast.
[mm] \frac{dU}{dC_{1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{C_{2}} [/mm] ist übrigens sicherlich falsch, aber dass dies so ist, wird auch in deinem Endergebnis nicht behauptet.
Gruß
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