Abgeschlossenheit einer Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $D=\{x\in \IR^2 : x_1^2+x_2^2\le 1\}$ [/mm] abgeschlossen ist. |
Hallo,
ich vermute dass dies ziemlich einfach ist, nur habe ich erst mal keine Idee wie ich das zeigen kann. Betrachte ich D als Teilmenge eines metrischen Raums $(M,d)$, muss dann doch jede Folge [mm] x_k [/mm] aus D, die in $(M,d)$ konvergiert, ihren Grenzwert in A haben. Aber wie kann ich das zeigen? Wäre über Anregungen dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Sa 21.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]D=\{x\in \IR^2 : x_1^2+x_2^2\le 1\}[/mm]
> abgeschlossen ist.
>
> Hallo,
>
> ich vermute dass dies ziemlich einfach ist, nur habe ich
> erst mal keine Idee wie ich das zeigen kann. Betrachte ich
> D als Teilmenge eines metrischen Raums [mm](M,d)[/mm], muss dann
> doch jede Folge [mm]x_k[/mm] aus D, die in [mm](M,d)[/mm] konvergiert, ihren
> Grenzwert in A haben.
> Du meinst sicher ..... in D haben.
> Aber wie kann ich das zeigen? Wäre
> über Anregungen dankbar.
Dann nimm Dir doch eine konv. Folge aus D her, sagen wir [mm] ((a_n,b_n)). [/mm] Ihr Grenzwert sei (a,b)
Es gilt: [mm] a_n^2+b_n^2 \le [/mm] 1 für alle n.
Was weißt Du über die Koordinatenfolgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Levit |
Nun ja, ich weiß das [mm] $\limes_{n \to \infty} a_n=a§, [/mm] für b genauso. Und ich weiß, dass [mm] $a_n,b_n\le1$, [/mm] damit die Folge in der Menge liegt. Dann könnte ich doch sagen, dass ich [mm] $a_n^2+b_n^2$ [/mm] schreibe als [mm] $1/c_n^2+1/d_n^2$ [/mm] mit [mm] $c,d\ge1$. [/mm] Und ich weiß, dass [mm] $1/c_n^2$ [/mm] und [mm] $1/d_n^2$ [/mm] gegen 0 gehen, und damit auch [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] gegen (0,0) konvergieren. Und (0,0) ist Element der Menge, damit ist diese abgeschlossen.
Ist das so machbar?
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Hiho,
dein Text ist unpraktikabel und inhaltlich unnötig.
Du musst doch zeigen, dass der Grenzwert wieder in der Menge liegt. Wann liegt der Grenzwert in der Menge? Welche Eigenschaft muss er erfüllen?
Tut er das?
Das ist nen Zweizeiler....
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Nun ja, ich weiß das [mm]$\limes_{n \to \infty} a_n=a§,[/mm] für
> b genauso. Und ich weiß, dass [mm]$a_n,b_n\le1$,[/mm] damit die
> Folge in der Menge liegt. Dann könnte ich doch sagen, dass
> ich [mm]$a_n^2+b_n^2$[/mm] schreibe als [mm]$1/c_n^2+1/d_n^2$[/mm] mit
> [mm]$c,d\ge1$.[/mm] Und ich weiß, dass [mm]$1/c_n^2$[/mm] und [mm]$1/d_n^2$[/mm]
> gegen 0 gehen, und damit auch [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] gegen (0,0)
> konvergieren. Und (0,0) ist Element der Menge, damit ist
> diese abgeschlossen.
> Ist das so machbar?
Nein. Das ist völliger Unsinn.
Wir hatten: $ [mm] a_n^2+b_n^2 \le [/mm] $ 1 und [mm] a_n \to [/mm] a und [mm] b_n \to [/mm] b. Dann gilt:
[mm] a^2+b^2 \le [/mm] ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Sa 21.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Aber wie kann ich das zeigen? Wäre
> über Anregungen dankbar.
Du kannst auch zeigen, dass [mm] $\overline{D}$ [/mm] offen ist ...
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Levit,
da Luis gerade mit Alternativen angefangen hat: Du kannst auch wie folgt vorgehen:
[mm] $D=f^{-1}([0,1])$ [/mm] mit [mm] $f\colon\IR^2\to\IR,\quad f(x)=x_1^2+x_2^2$
[/mm]
Da $f$ stetig und [mm] $[0,1]\subseteq\IR$ [/mm] abgeschlossen ist, ist auch [mm] $D\subseteq\IR^2$ [/mm] abgeschlossen.
(Ich sehe gerade, dass die Stetigkeit von $f$, wenn man mit Stetigkeitsaussagen in Produkträumen noch nicht so vertraut ist, doch nicht so klar ist. Am besten nimm doch Freds Ansatz.)
Viele Grüße
Tobias
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