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Abelsummation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Sa 13.02.2010
Autor: congo.hoango

Aufgabe
Berechnen Sie die Abelsumme der divergenten Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-i)^k [/mm]

Mein Ansatz hierzu:

Wähle z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] mit |z|<1.

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-i)^kz^k=\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k [/mm]

So und hier stellt sich mit nun die Frage, ob ich da nun wieder mit der geometrischen Reihe weiterrechnen kann, bzw. wie ich hier auf den Grenzwert der Reihe für [mm] z\rightarrow [/mm] 1 komme.

Danke schonmal für Antworten!

Gruß
congo

        
Bezug
Abelsummation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 13.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo congo.hoango.

> Berechnen Sie die Abelsumme der divergenten Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-i)^k[/mm]
>  Mein Ansatz hierzu:
>  
> Wähle z [mm]\in \mathbb{C}[/mm] mit |z|<1.

Hmm, soweit ich das gerade im Internet nachschlagen konnte, nimmt man ein bel. [mm] $r\in(0,1)$ [/mm]


>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-i)^kz^k=\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k[/mm]
>  
> So und hier stellt sich mit nun die Frage, ob ich da nun
> wieder mit der geometrischen Reihe weiterrechnen kann, bzw.
> wie ich hier auf den Grenzwert der Reihe für [mm]z\rightarrow[/mm]
> 1 komme.

Jo, du kannst [mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-i)^k\cdot{}z^k$ [/mm] schreiben als [mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k$ [/mm]

Hier ist [mm] $|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1$, [/mm] also mit geom. Reihe:

[mm] $\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}$ [/mm]

Nun lasse [mm] $z\to [/mm] 1$ laufen und du hast die Abelsumme ...

>  
> Danke schonmal für Antworten!
>  
> Gruß
>  congo

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Abelsummation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Sa 13.02.2010
Autor: congo.hoango


> Hier ist [mm]|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1[/mm], also mit geom. Reihe:
>  
> [mm]\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}[/mm]
>  
> Nun lasse [mm]z\to 1[/mm] laufen und du hast die Abelsumme ...

Das dachte ich auch, aber dann komme ich ja auf [mm] \limes_{z\rightarrow1}\frac{1}{1+iz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+i}, [/mm] oder? Und auf dem Lösungsblatt steht, dass da [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{i}{2} [/mm] rauskommt....

Oder habe ich irgendwie grad nen Denkfehler?

Gruß
congo

Bezug
                        
Bezug
Abelsummation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Sa 13.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > Hier ist [mm]|-iz|=|-i|\cdot{}|z|=|z|<1[/mm], also mit geom. Reihe:
>  >  
> >
> [mm]\sum\limit_{k=0}^{\infty}(-iz)^k=\frac{1}{1-(-iz)}=\frac{1}{1+iz}[/mm]
>  >  
> > Nun lasse [mm]z\to 1[/mm] laufen und du hast die Abelsumme ...
>  
> Das dachte ich auch, aber dann komme ich ja auf
> [mm]\limes_{z\rightarrow1}\frac{1}{1+iz}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+i},[/mm] [ok]
> oder? Und auf dem Lösungsblatt steht, dass da
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{i}{2}[/mm] rauskommt....

Was dasselbe ist.

Wandel mal [mm] $\frac{1}{1+i}$ [/mm] in die Normaldarstellung $a+bi$ um ...

>  
> Oder habe ich irgendwie grad nen Denkfehler?

Eher liegt ein Schlauch im Wege :-)

>  
> Gruß
>  congo


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Abelsummation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Sa 13.02.2010
Autor: congo.hoango

:-) Hups, ja stimmt. Vielen Dank!

Bezug
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