Abbildungen/Quotientenraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | W Teilraum von Vektorraum V
[mm] \phi:V->V [/mm] linear so dass [mm] \phi(W)\subseteq [/mm] W
Zeige, dass es genau eine lineare [mm] Abbildung:\overline{\phi}: [/mm] V/W -> V/W gibt sodass [mm] \pi \circ \phi [/mm] = [mm] \overline{\phi}\circ\pi, [/mm] wobei [mm] \pi:V->V/W, [/mm] die kanonische Projektion bezeichnet. |
In der Vorlesung hatten wir ein Satz: Zu jeden vektorraum U und jeder linearen Abbildung [mm] \phi: [/mm] V->U für die [mm] \phi(W)=0 [/mm] gilt existiert eine eindeutige linere Abbildung [mm] \overline{\phi}: [/mm] V/W -> U so dass [mm] \phi= \overline{\phi}\circ \pi.
[/mm]
Da aber unser [mm] \phi [/mm] auf W nicht =0 ist, kann ich diesen Satz nicht anwenden.
[mm] \overline{\phi}([v])=[v]
[/mm]
[mm] \phi(v)=v [/mm] wobei [mm] \phi(W) \in [/mm] W
Ich weiß einfach nicht welchen "trick", Satz ich da brauche.!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Da aber unser $ [mm] \phi [/mm] $ auf W nicht =0 ist, kann ich diesen Satz nicht anwenden.
[mm] $\pi$ [/mm] aber schon und [mm] $\phi(W)\subseteq [/mm] W$.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Das heißt, wenn ich den Satz anwende:
Zu jeder linearen Abbildung [mm] \pi:V->V/W [/mm] und [mm] \pi(W)=0
[/mm]
existiert eine eindeutige lineare Abbildung [mm] \overline{\phi}: [/mm] V/W -> V/W so dass [mm] \pi [/mm] = [mm] \overline{\phi} \circ \pi [/mm]
Oder wie?
Mein [mm] \phi [/mm] kommt dann so gar nicht vor.
Ich bin verwirrt^^. Wäre nett wenn du mir das erklären könntest
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Blech |
> Zu jeder linearen Abbildung $ [mm] \pi:V->V/W [/mm] $ und $ [mm] \pi(W)=0 [/mm] $
existiert eine eindeutige lineare Abbildung $ [mm] \overline{\phi}: [/mm] $ V/W -> V/W so dass $ [mm] \pi [/mm] $ = $ [mm] \overline{\phi} \circ \pi [/mm] $
Oder wie?
Ich glaub nicht, daß Du für diese Erkenntnis den Satz brauchst... =)
Was ist denn mit
[mm] $\pi\circ\phi$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Sa 03.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> W Teilraum von Vektorraum V
> [mm]\phi:V->V[/mm] linear so dass [mm]\phi(W)\subseteq[/mm] W
> Zeige, dass es genau eine lineare
> [mm]Abbildung:\overline{\phi}:[/mm] V/W -> V/W gibt sodass [mm]\pi \circ \phi[/mm]
> = [mm]\overline{\phi}\circ\pi,[/mm] wobei [mm]\pi:V->V/W,[/mm] die
> kanonische Projektion bezeichnet.
>
>
> In der Vorlesung hatten wir ein Satz: Zu jeden vektorraum U
> und jeder linearen Abbildung [mm]\phi:[/mm] V->U für die [mm]\phi(W)=0[/mm]
> gilt existiert eine eindeutige linere Abbildung
> [mm]\overline{\phi}:[/mm] V/W -> U so dass [mm]\phi= \overline{\phi}\circ \pi.[/mm]
>
>
> Da aber unser [mm]\phi[/mm] auf W nicht =0 ist, kann ich diesen Satz
> nicht anwenden.
>
> [mm]\overline{\phi}([v])=[v][/mm]
> [mm]\phi(v)=v[/mm] wobei [mm]\phi(W) \in[/mm] W
> Ich weiß einfach nicht welchen "trick", Satz ich da
> brauche.!
Keinen. Nur das "Übersetzungsprogramm" FRED. Die gesuchte Abbildung [mm] \overline{\phi} [/mm] soll doch leisten:
(*) $ [mm] \pi \circ \phi [/mm] $ = $ [mm] \overline{\phi}\circ\pi, [/mm] $
Wenn ich die Elemente von V/W mit [v] bez. so lautet (*) übersetzt:
(**) [mm] \overline{\phi}([v])= [\phi(v)] [/mm] für alle v.
So, nun gehst Du her und definierst [mm] \overline{\phi} [/mm] wie es in (**) steht, und zeigst, dass diese Abb. die gewünschten Eigenschaften hat.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:08 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo danke ;))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 05.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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