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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 08.05.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Sei A ∈ Om(R) und [mm] A^s [/mm] = A + A^(−1)
a) Zeigen Sie, dass [mm] A^s [/mm] symmetrisch ist.
b) Sei λ ∈ R ein Eigenwert von [mm] A^s [/mm] und [mm] A^s*v [/mm] = λv mit v [mm] \in \IR^m [/mm] \ {0}.
Wir setzen U = Spann(v,Av). Zeigen Sie, dass dimU ∈{1,2}.
c) Sei U wie in b). Zeigen Sie, dass Au ∈ U für alle u ∈ U.
d) Sei U wie in c) und U⊥ = {w ∈ Rm :<u,w> = 0 für alle u ∈ U}, U⊥ ein
Untervektorraum von [mm] R^m. [/mm] Zeigen Sie, dass Au ∈ U⊥ für alle u ∈ U⊥.
(Hinweis: u ∈ U ⇒ A(−1)u ∈ U.) |
Hallo,
a.)
[mm] A^s [/mm] = A + A^(-1)
Da A, A^(-1) /in [mm] O_m [/mm] gilt:
A ^T × A = [mm] E_m
[/mm]
Und [mm] (A^{-1})^T [/mm] × A^(-1) = [mm] E_m
[/mm]
Ausserdem A×A(-1) = [mm] E_m
[/mm]
Also:
[mm] (A^{-1})^T [/mm] = A
[mm] A^T=A^{-1}
[/mm]
z.z.: [mm] A^s [/mm] symmetrisch, also
Z.z.: [mm] A^s [/mm] = [mm] (A^s)^T
[/mm]
[mm] (A^s)^T= (A+A^{-1})^T [/mm] = [mm] A^T [/mm] + (A^(-1))T = A^(-1) + A = A + A^(-1) [mm] =A^s
[/mm]
b.)
Hier komme ich leider nicht weiter.
U = span(v,Av) = xv + yAv
X,y [mm] \in \IR [/mm]
Und aus [mm] A^s×v [/mm] = [mm] \lambda×v [/mm]
Folgt:
Av + A^(-1)v = [mm] \lambda×v [/mm]
Ich verstehe den Zusammenhang nicht. Ich wäre sehr froh um einen Tipp,
weil ich sonst die restlichen Aufgaben auch nicht bearbeiten kann. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 08.05.2017 | | Autor: | fred97 |
Zu b): Da [mm] $v\ne [/mm] 0$ folgt: [mm] $\dim [/mm] U [mm] \ge [/mm] 1$. Da $U$ die lineare Hülle von 2 Vektoren ist, haben wir [mm] $\dim [/mm] U [mm] \le [/mm] 2$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 08.05.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Vielen Dank!!
stimmt die a.) so wie ich sie gelöst habe?
bei c.)
u [mm] \in [/mm] U
->
entweder: u = v
oder u = Av
z.Z. Au [mm] \in [/mm] U
1. Fall:
u = Av
Au= Av
und Av ist [mm] \in [/mm] U
2.Fall:
Au = A(Av)
aber das lässt sich nicht so umformen dass es in U ist?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Fr 12.05.2017 | | Autor: | hippias |
> Vielen Dank!!
> stimmt die a.) so wie ich sie gelöst habe?
Ja.
>
> bei c.)
> u [mm]\in[/mm] U
> ->
> entweder: u = v
> oder u = Av
Das ist nicht richtig. $U$ enthält beliebige Linearkombinationen von $v$ und $Av$. Wie so oft reicht es aber aus, die Behauptung für die Erzeuger zu zeigen - falls es Dir nicht bewusst war, beweise es.
>
>
> z.Z. Au [mm]\in[/mm] U
> 1. Fall:
> u = Av
> Au= Av
> und Av ist [mm]\in[/mm] U
>
> 2.Fall:
> Au = A(Av)
>
> aber das lässt sich nicht so umformen dass es in U ist?
Wende die Vorausstzung an.
> Danke!
>
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