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Grenzwert von sin x: Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Sa 02.07.2016
Autor: Joan2

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm]  (sin [mm] x)^x [/mm]


Hallo,

weiß jemand vielleicht wie man von

[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{x}{(sin x)^x} [/mm] auf die Lösung

[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm]  (sin [mm] x)^x [/mm] = [mm] e^0 [/mm] kommt?

Ich finde auch kein Additionstheorem, das diese Gleichung löst. :(


Viele Grüße
Joan

        
Bezug
Grenzwert von sin x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 02.07.2016
Autor: willyengland

Ich bin nur Laie, also bitte mit Vorsicht genießen:

Für kleine x gilt: sin(x) = x

[mm] x^x [/mm] = [mm] e^{lnx^x}=e^{xlnx}=e^{lnx/1/x} [/mm]

Dann l'Hospital:

[mm] ln(x)/x^{-1}=x^{-1}/-x^-2=-x [/mm]

Also lim [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1

Bezug
        
Bezug
Grenzwert von sin x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 02.07.2016
Autor: fred97

Für "kleine" positive x ist

  [mm] (sinx)^x=e^{x*ln(sinx)} [/mm]

Berechne zunächst

    [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(sinx) [/mm]

FRED

Bezug
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