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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Sa 23.04.2022
Autor: Delia00

Aufgabe
Gegeben ist f(x) mit [mm] f(x)=-x^2-6x+8 [/mm]

Ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt in die Parabel einschreiben.
A (u | f(u)) liegt auf dem Graphen, B(u | 0)

Hallo zusammen,

eigentlich habe ich die Aufgabe schon gelöst.

Bin mir nur an einer Stelle etwas unsicher.

Ich hab folgende Punkte heraus:

A (-1,27 | 14) und B (-1,27 | 0) (sind die Werte richtig?)

Wenn ich nun den Flächeninhalt berechnen will, muss ich doch -1,27 in Betrag setzen, so dass ich dann Folgendes rechne:

A = (6  +2 * 1,27) * 14

Danke für eure Hilfe

        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Sa 23.04.2022
Autor: chrisno

Ich bekomme andere Werte heraus. Leider zeigst Du deine Rechnung nicht.
Zum Vorgehen:
Zuerst habe ich den Scheitelpunkt der Parabel bestimmt. Das Rechteck liegt dann symmetrisch zur Gerade mit x = 3.
Den Flächeninhalt habe ich so angesetzt:
$F = [mm] 2*(3+x)(-x^2-6x+8)$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 23.04.2022
Autor: Delia00

Hier sind meine Rechenwege

[mm] f(x)=-(x+3)^2+17 [/mm]

Nebenbedingung:

a= 2 * (3+u) = 6+2u

b = f(u)

Zielfunktion
Z(u)=a*b
[mm] Z(u)=-2u^3-18u^2-20u+48 [/mm]

[mm] Z‘(u)=-6u^2-36u-20 [/mm]

als Extrema hab ich dann erhalten:
-5,38 und -0,62

-0,62 wäre das Maximum

(In meiner vorherigen Rechnung hatte ich eine falsche Zielfunktion.)


Muss ich nun bei der Berechnung von A es so schreiben:

A=2 *(3+0,62)*11,34 ???

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 23.04.2022
Autor: chrisno

Ich muss gerade etwas anderes tun. Prüfe Deine Zielfunktion. Ich habe als Extremstelle -0,62.
Da bekomme ich einen größeren Flächeinhalt als mit deinem Wert. Allerdings müsste ich nun noch mal in Ruhe rechnen.

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Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 23.04.2022
Autor: chrisno


> Hier sind meine Rechenwege
>
> [mm]f(x)=-(x+3)^2+17[/mm]
>  
> Nebenbedingung:
>  
> a= 2 * (3+u) = 6+2u
>  
> b = f(u)
>  
> Zielfunktion
>  Z(u)=a*b
>  [mm]Z(u)=-2u^3-18u^2-20u+48[/mm]
>  
> [mm]Z‘(u)=-6u^2-36u-20[/mm]
>  
> als Extrema hab ich dann erhalten:
> -5,38 und -0,62
>  
> -0,62 wäre das Maximum

die Extremstelle

>  
> (In meiner vorherigen Rechnung hatte ich eine falsche
> Zielfunktion.)

Nun stimmen wir überein.

>  
>
> Muss ich nun bei der Berechnung von A es so schreiben:
>  
> A=2 *(3+0,62)*11,34 ???

nein, (3+u) = (3-0,62)  


Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Sa 23.04.2022
Autor: Delia00

Und somit hätte man A=53,98 FE?

Danke für deine Mühe

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Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Sa 23.04.2022
Autor: chrisno

Ich habe mit einer Stelle weniger gerechnet. Es passt.

Bezug
                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Sa 23.04.2022
Autor: Delia00

Ich hätte da noch eine allgemeine Frage.

Nehmen wir mal an, ich hätte folgende Scheitelpunktform:

[mm] f(x)=-(x-7)^2+12 [/mm]

Müsste ich als Nebenbedingung schreiben:

a=2*(7+u), obwohl bei der Scheitelpunktform -7 in der Klammer steht, da es ja um den Abstand zur y-Achse geht. Wäre dies so richtig?

Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Sa 23.04.2022
Autor: chrisno

Ja,

Du willst ja die halbe Breite des Rechtecks berechnen. Diese Breite ist die Differnz zweier x-Werte.
Nennen wir den Scheitelwert [mm] $x_S$. [/mm] u soll rechts von [mm] $x_S$ [/mm] sein, und die Breite positiv. Dann ergibt [mm] $x_S [/mm] - u$ den gesuhten Wert. In diesem Fall ist $u = -7$ und so verschwindet das Minuszeichen.

Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe: Bild!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Sa 23.04.2022
Autor: HJKweseleit

Wenn du dir eine Skizze vom Sachverhalt machst, hast du weniger Schwierigkeiten.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Die Parabel ist symmetrisch zur Achse x=-3. Ist der rechte gesuchte Eckpunkt B(u|0), so ist die untere halbe Rechteckseite a=u-(-3)=u+3 (Kontrolle durch Beispiel: ist - wie im Bild - u=-1/2, so ist a=-1/2+3=2+1/2 in Übereinstimmung mit dem Bild).

Somit ist die Unterseite des Rechtecks 2a=2u+6 und die Höhe [mm] f(u)=-u^2-6u+8. [/mm]

Das Rechteck hat also den Inhalt [mm] A(u)=(2u+6)(-u^2-6u+8)=-2u^3-18u^2-20u+48. [/mm]

[mm] A'(u)=-6u^2-36u-20=0 \Rightarrow [/mm]

[mm] u=\wurzel{17/3}-3 [/mm] = [mm] \wurzel{51}/3-3 \approx [/mm] -0,6195  und damit

[mm] A=\bruch{68}{9}\wurzel{51}\approx [/mm] 53,957.



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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