matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesAusgleichsrechnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Ausgleichsrechnung
Ausgleichsrechnung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ausgleichsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mo 02.02.2015
Autor: gummibaum

Aufgabe
Gegeben sind die Daten [m](x_{i}, y_{i})[/m] für [m]i=1,...,n[/m].

Als Schwerpunkt dieser Daten bezeichnet man den Punkt [m](\bar x, \bar y)[/m] mit

[m]\bar x = \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i} \,\ \bar y = \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} y_{i}[/m]

Weisen Sie nach, dass der Schwerpunkt der Daten auf der zu den Daten gehörenden Ausgleichsgeraden [m]y = ax + b[/m] liegt.

Bemerkung: Normalgleichungssystem für das genannte Ausgleichsproblem benutzen, nicht dessen explizite Lösung.

Hallo zusammen,

normalerweise würde ich zuerst das Fehlergleichungssystem [m]A \lambda = y[/m] aufstellen mit [m]A \in \IR^{n \times m}[/m], [m]\lambda \in \IR^{m}, y \in \IR^{n}[/m]
wobei [m]n[/m] die Anzahl der Wertepaare und [m]m[/m] die Anzahl der Basisfunktionen (ausgehend vom Ansatz bzw. der Ansatzfunktion) angeben. Danach wird das (meist überbestimmte,
da [m]n > m[/m], Fehlergleichungssystem, wegen mehr Wertepaare als auszugleichende Parameter) durch die Multiplikation mit der transponierten Matrix [m]A^{T}[/m] auf beiden Seiten
in das Normalgleichungssystem überführt. Links steht dann die symmetrische Koeffzientenmatrix [m]A^{T} \cdot A[/m] und rechts [m]A^{T} \cdot y[/m]

Das Vorgehen ist mir also bekannt...

Nun ist diese Aufgabe m.E. etwas ungewöhnlich formuliert.
Kann mir jemand eventuell einen Tipp geben?

Vielen Dank im voraus!

        
Bezug
Ausgleichsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mi 04.02.2015
Autor: huddel

Hey gummibaum,

ich hoffe deine Frage ist noch aktuell und ich antworte nicht viel zu spät...

Ich weiß leider nicht genau, wie ihr die Ausgleichsgerade definiert habt, aber ich denke mal, dass es das Standardprinziep ist, welches auch oft in der Stochastik verwendet wird. Ich weiß leider auch nicht genau, was du mit der Matrix $ A $ ausrechnest. Ich würde jetzt einfach mit der Standarddefinition vorgehen und mit der Methode der kleinsten Quadrate vorgehen, also das Minimum der Funktion [mm] $\sum_{i=1}^n (y_i [/mm]  - a - [mm] bx_i)$ [/mm] suchen und auf die Darstellung

$y(x) = [mm] \bar [/mm] y - [mm] \frac{\sum_i x_i y_i - n \bar x \bar y}{\sum_i x_i^2 - n {\bar x}^2}\bar [/mm] x + [mm] \frac{\sum_i x_i y_i - n \bar x \bar y}{\sum_i x_i^2 - n {\bar x}^2} [/mm] x$

womit deine Aufgabe dann recht schnell gelöst ist.

Ich hoffe mal, das hilft dir wenigstens ein bischen weiter :)

LG
huddel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]