homogenen linearen DGL 1. Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mo 18.01.2010 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DGL 1. Ordnung
[mm] x^{2}y'+y=0 [/mm] |
Hallo. ich bins schon wieder  Kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich bekomme die Rechnung so einigermaßen hin, habe aber irgendwie Schwierigkeiten mit der Integrationskonstante C. Ich lasse die bei der rechnung immer weg und füge sie am ende hinzu. ich schreibe mal auf, was ich gerechnet habe:
[mm] x^{2}y'+y=0 [/mm]
y'= - [mm] \bruch{y}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}= [/mm] - [mm] \bruch{y}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^{2}}dx
[/mm]
Jetzt integriere ich:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}= [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}} dx}
[/mm]
ln(y)= [mm] \bruch{1}{x} /e^{()}
[/mm]
y= [mm] e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Die allgemeine Lösung lautet dann: y= [mm] C*e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Eigentlich müsste die Integrationskonstante ja schon nach dem Integrieren auftauchen.
Kann ich das dann einfach so aufschreiben:
ln(y) +C1= [mm] \bruch{1}{x}+C2 [/mm]
C1 und C2 kann ich ja zu C zusammenfassen
Dann habe ich [mm] ln(y)=\bruch{1}{x} [/mm] +C
Das Problem habe ich jetzt an dieser Stelle, wenn ich nach y auflöse:
[mm] y=e^{\bruch{1}{x} +C}
[/mm]
Wie komme ich jetzt von dieser Stelle aus auf die Lösung y= [mm] C*e^{\bruch{1}{x}}?
[/mm]
Wäre echt lieb, wenn mir jemand helfen kann. Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 18.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Das weiss ich!
also... [mm] e^{a+b} [/mm] = [mm] e^{a}*e^{b} [/mm]
Du hast ja so [mm] e^{x}*e^{c} [/mm] ...weil jetzt aber c eine Konstante ist, ist [mm] e^{c} [/mm] eine neue Konstante, die du einfach als neue Konstante schreiben kannst...z.B. [mm] e^{c} [/mm] = d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 18.01.2010 | | Autor: | tynia |
Das habe ich mir fast gedacht, war mir aber nicht sicher.
Vielen liben dank
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