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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorneweg, ich war mir nicht sicher in welches Unterforum ich das schicken sollte, hoffe hier ist es ok.
Allgemein gilt ja für die binomische Formel:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} [/mm] * [mm] b^k
[/mm]
In meinem Mathebuch habe ich nun folgendes gefunden:
[mm] (a+b)^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} a^{n-k} [/mm] * [mm] b^{k-1}
[/mm]
Ist das korrekt? Ich verstehe nicht ganz, wieso es reicht den von der Potenz k beim b 1 zu subtrahieren und [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] zu schreiben, jedoch nichts an der Potenz von a verändert wird, um letztendlich [mm] (a+b)^{n-1} [/mm] zu schreiben, von der Potenz n also 1 zu subtrahieren.
Könnt ihr mir Verständnistipps geben?
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Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Vorneweg, ich war mir nicht sicher in welches Unterforum
> ich das schicken sollte, hoffe hier ist es ok.
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> Allgemein gilt ja für die binomische Formel:
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> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}[/mm] * [mm]b^k[/mm]
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> In meinem Mathebuch habe ich nun folgendes gefunden:
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> [mm](a+b)^{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} a^{n-k}[/mm]
> * [mm]b^{k-1}[/mm]
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> Ist das korrekt? Ich verstehe nicht ganz, wieso es reicht
> den von der Potenz k beim b 1 zu subtrahieren und
> [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] zu schreiben, jedoch nichts an der
> Potenz von a verändert wird, um letztendlich [mm](a+b)^{n-1}[/mm]
> zu schreiben, von der Potenz n also 1 zu subtrahieren.
>
> Könnt ihr mir Verständnistipps geben?
Es ist [mm] $a^{n-k} [/mm] = [mm] a^{(n-1)-(k-1)}$.
[/mm]
Schau, ich schreibe mal in der oberen Formel überall statt n einfach n-1 hin:
[mm] $(a+b)^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{n-1 \\ k} a^{n-1-k} [/mm] * [mm] b^k$
[/mm]
Nun wird eine sog. Indexverschiebung gemacht. Das heißt, wir summieren statt von 0 bis n-1 jetzt von 1 bis n.
In der Summe äußert sich das so, dass man überall (k-1) schreibt, wo vorher k stand:
$= [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} a^{n-1-(k-1)} [/mm] * [mm] b^{k-1}$
[/mm]
$= [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} a^{n-k} [/mm] * [mm] b^{k-1}$
[/mm]
... Und fertig! 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Vielen Dank, schnell und verständlich. Top! =)
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