Substitutionsregel

Satz Substitutionsregel der Integralrechnung

$f:\ [d,c]\to\IR$ integrierbar, $\varphi:\ [a,b]\to\IR$ stetig differenzierbar, $[\varphi(a),\varphi(b)]\subset[d,c]$

Dann gilt:
$\int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z$

Bemerkungen.

Die Integration durch Substitution beruht auf der Umkehrung der Kettenregel.

Beispiel 1

$\integral {\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\wurzel{x}} dx}$

Substitution: $t = \wurzel{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow \bruch{dx}{dt}= 2t$
Einsetzen: $\integral{\bruch{e^t}{t}\cdot{}2t dt} = \integral {2\cdot{}e^t dt} = 2\cdot{}e^t + C$
Rückeinsetzen: $= 2 e^{\wurzel{x}} + C$

Beispiel 2

$\integral {\bruch{x^2}{\wurzel{x^3+2}} dx}$

Substitution: $t = x^3+2 \Rightarrow \bruch{dt}{dx} = 3 x^2 \Rightarrow dx = \bruch{1}{3x^2} dt$
Einsetzen: $\integral {\bruch{x^2 \cdot{} 1}{\wurzel {t}\cdot{} 3x^2} dt} = \bruch{1}{3} \integral {\bruch{1}{\wurzel {t}}dt} = \bruch{1}{3}\cdot{} 2 \cdot{} \wurzel{t} + C$
Rückeinsetzen: $= \bruch{2}{3} \wurzel{x^3 + 2} + C$

Erstellt: Di 31.08.2004 von Marc

Letzte Änderung: Di 19.07.2005 um 16:32 von Loddar

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