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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
| Aufgabe | | y= [mm] \wurzel{x^2-6x+8} [/mm] |
ich denke falsch mit der wurzel gerechnet zu haben.. :-(
1) Nullstellen f(x) = 0
[mm] \wurzel{x^2-6x+8} [/mm] = 0 /²
[mm] x^2-6x+8 [/mm] = 0
N1 = 4
N2 = 2
2) Extremwert f'(x) = 0
y= [mm] \wurzel{x^2-6x+8}
[/mm]
y= [mm] (x^2-6x+8)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
y'= [mm] \bruch{1}{2}*(x^2-6x+8) [/mm] * (2x-6)
y'= [mm] \bruch{1}{2}*(2x^3-18x^2+52x-40)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*(2x^3-18x^2+52x-40) [/mm] = 0
RATEN: 1,2036
(habe ich noch eine andere möglichkeit außer raten oder newton?)
[mm] (2x^3-18x^2+52x-40):(x-1,2036) [/mm] = [mm] 2x^2+15,5928x [/mm] + 33,2325
[mm] 2x^2+15,5928x [/mm] + 33,2325
x12 = nichtlösbar (negatives wurzelziehen)
Einsetze E1(1,2036|1,49233)
y(1,2036) = 1,49233
Wendepunkt: f''(x) =0
y'= [mm] \bruch{1}{2}*(2x^3-18x^2+52x-40)
[/mm]
y''= [mm] 6x^2-18x+52
[/mm]
[mm] 6x^2-18x+52 [/mm] = 0
x12 = [mm] \bruch{-b +- \wurzel{b^2 - 4AC}}{2A}
[/mm]
ergebint
x1 = 1,0773
x2 = -0,0773
Einsetzen:
y(1,0773)=1,6421
y(-0,0773)=2,91028
Wendetangente: y= kx+d
y = wendepunkt
x = wendepunkt
k = x von wendepunkt in f' einsetzen
d = ausrechnen
ergibt:
tw1: y = -1,1850x + 2,9187
tw2: y = -22,0640x - 14,145
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Gabs |
Überprüfe nochmals Deine erste Ableitung. Dass Du nachdifferenzieren mußt, ist in Ordnung, aber z. B.
[mm] y=\wurzel{x}=x^{1/2}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{2}*x^{-(1/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
kurzes beispiel:
[mm] \wurzel{5^2-6*5+8} [/mm] = 1,732050808
[mm] (5^2-6*5+8)^{ \bruch{1}{2}}=1,732050808
[/mm]
wieso kann ich also nicht aus
[mm] \wurzel{x^2-6x+8}
[/mm]
[mm] (x^2-6x+8)^{ \bruch{1}{2}}
[/mm]
machen? - das differenziert sich leichter..
eben
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (x^2-6x+6) [/mm] * (2x-6)
(kettenregel)
wieso kommt die hier nicht zum einsatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mi 02.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
> kurzes beispiel:
>
> [mm]\wurzel{5^2-6*5+8}[/mm] = 1,732050808
> [mm](5^2-6*5+8)^{ \bruch{1}{2}}=1,732050808[/mm]
>
> wieso kann ich also nicht aus
>
> [mm]\wurzel{x^2-6x+8}[/mm]
> [mm](x^2-6x+8)^{ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> machen? - das differenziert sich leichter..
>
das kannst du machen!
> eben
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](x^2-6x+6)[/mm] * (2x-6)
> (kettenregel)
> wieso kommt die hier nicht zum einsatz?
>
Die Kettenregel kommt zum Einsatz, aber leider ist das hier falsch abgeleitet.
es muss doch heießen:
[mm] y'(x)=\bruch{1}{2}*(x^{2}-6*x+8)^{-\bruch{1}{2}}*(2*x-6)=\bruch{(2*x-6)}{2*\wurzel{(x^{2}-6*x+8)}}
[/mm]
Was ist für den Fall [mm] x_{1}=4 [/mm] und [mm] x_{2}=2?
[/mm]
lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
$ [mm] y'(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}(x^{2}-6\cdot{}x+8)^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}(2\cdot{}x-6)=\bruch{(2\cdot{}x-6)}{2\cdot{}\wurzel{(x^{2}-6\cdot{}x+8)}} [/mm] $
ok aber wenn ich das 0 setze..
steht ja nur noch
2x-6 = 0 da (nenner darf ich ja wegmultiplizieren und nenner * 0 = 0)
2x = 6
x = 3
E1(3|1)
y = [mm] \wurzel{9-18+8}
[/mm]
y = [mm] \wurzel{9-10}
[/mm]
y = [mm] \wurzel{1}
[/mm]
y = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mi 02.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig.
Uebrigens eine Wurzelfkt hat genau da ihre Extremwerte, wo der Radikand seine Extremwerte hatalso
[mm] g(x)=\wurzel(f(x)) [/mm] hat seine Nst und Extremwerte an denselben x Stellen wie f(x) falls der Wert an der Extremstelle nicht negativ ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
jetzt nochmal auf deutsch bitte??
wenn bei f(x) eine wurzelfunktion ist, dann ist bei g(x) die nullstelle und der extremwert exakt gleich?
wozu bräuchte ich jetzt g(x) ? g(x) = ableitung von f(x)
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Hallo!
Wenn du von einer Funktion f(x) die Wurzel ziehst, dadurch also die neue Funktion g(x) = [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] entsteht, dann hat die Funktion g(x) genau dieselben Extremstellen und Nullstellen wie die Funktion f(x), d.h. durch das Wurzelziehen werden die Stellen nicht verändert.
Das ist eigentlich logisch:
Eine Funktion [mm] \wurzel{z} [/mm] wird nur 0, wenn z = 0 wird, deswegen gilt das mit den Nullstellen.
Wenn ich die Funktion [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] ableite, entsteht nach der Kettenregel [mm] $\frac{1}{2*\sqrt{f(x)}}*f'(x) [/mm] = [mm] \frac{f'(x)}{2*\sqrt{f(x)}}$, [/mm] und ein Bruch wird nur 0, wenn der Zähler 0 wird. Daran kann man erkennen, dass die Ableitung von [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] genau dann 0 wird, wenn auch f'(x) = 0 wird.
Grüße,
Stefan.
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> Hallo!
>
> Wenn du von einer Funktion f(x) die Wurzel ziehst, dadurch
> also die neue Funktion g(x) = [mm]\wurzel{f(x)}[/mm] entsteht, dann
> hat die Funktion g(x) genau dieselben Extremstellen und
> Nullstellen wie die Funktion f(x), d.h. durch das
> Wurzelziehen werden die Stellen nicht verändert.
>
> Das ist eigentlich logisch:
>
> Eine Funktion [mm]\wurzel{z}[/mm] wird nur 0, wenn z = 0 wird,
> deswegen gilt das mit den Nullstellen.
>
> Wenn ich die Funktion [mm]\wurzel{f(x)}[/mm] ableite, entsteht nach
> der Kettenregel [mm]\frac{1}{2*\sqrt{f(x)}}*f'(x) = \frac{f'(x)}{2*\sqrt{f(x)}}[/mm],
> und ein Bruch wird nur 0, wenn der Zähler 0 wird. Daran
> kann man erkennen, dass die Ableitung von [mm]\wurzel{f(x)}[/mm]
> genau dann 0 wird, wenn auch f'(x) = 0 wird.
>
> Grüße,
> Stefan.
Hallo Stefan,
Letzteres stimmt nicht in jedem Fall. Nimm etwa [mm] f(x)=x^2.
[/mm]
An der Stelle x=0 ist f'=0, und f hat dort ihren Tiefpunkt.
Es ist aber [mm] g(x)=\wurzel{f(x)}=|x|. [/mm] Diese neue Funktion
nimmt zwar ebenfalls an der Stelle x=0 ihr absolutes
Minimum g(0)=|0|=0 an, ist aber dort nicht differenzierbar.
Für die Übereinstimmung der Extremalstellen würde ich
eher mit der strengen Monotonie der Wurzelfunktion
argumentieren.
Nebenbei muss man bei diesen Betrachtungen natürlich
[mm] f(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in \mathbb{D}_f [/mm] voraussetzen.
Gruß
Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Gabs |
Überlege Dir doch einmal, für welche x-Werte die ursprüngliche Funktion definiert ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
wie meinen? die ursprüngliche funktion? die nullstellen jetzt ?
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Hallo itil!
Du sollst abgleichen, ob der berechnete x-Wert überhaupt im Definitionsbereich der Funktion enthalten ist.
Wie lautet denn der Definitionsbereich der Funktion?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Gabs |
Außerdem [mm] gilt:\wurzel{9-18+8}=\wurzel{-1} [/mm] und das ist nicht definiert in den reellen Zahlen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 02.09.2009 | | Autor: | itil |
Der Definitionsbereich Df einer Funktion f(x) ist die Menge aller x∈ℝ, für die die Funktion gebildet werden kann.
Kurz: Alle x, die man in die Funktion einsetzen darf.
bei uns ist das eh alles was sich im ersten quadrantenbewegt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Gabs |
Wie roadrunner und ich Dir nahelegen wollten, Du sollst den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion [mm] y=\wurzel{x^2-6x+8} [/mm] bestimmen.
Für welche x-Werte ist diese Funktion definiert?
Nicht alles, was im ersten Quadranten liegt, gehört auch zum Definitionsbereich.
Tip: Darf der Radikand negativ werden?Zeichne den Graphen der ursprünglichen Funktion im Bereich [-2; 8]!
Dann überlege, ob die Nullstelle (x=3) der ersten Ableitung im Definitionsbereich liegt.
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