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Grenzwert mit Integral: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Do 01.12.2016
Autor: Dom_89

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}} [/mm]

Hallo,

die o.g. Aufgabe wurde heute mit Lösung vorgestellt. Nachfolgend einmal der erste Teil:

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{[- cos (x)]}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}} [/mm]

* An der eckigen Klammer steht natürlich noch das Intervall 0 und x

=> Ich habe es nun so verstanden, dass im ersten Schritt die Ableitung im Zähler gebildet wird und immer ein Vorzeichenwechsel stattfindet => + sin (x) => - cos (x).

Allerdings ist mir dann nicht klar, warum im zweiten Schritt die eckige Klammer verschwindet und ich "+1" schreiben kann/muss?

Auch verstehe ich leider nicht, warum aus einer Funktion von t aufeinmal eine Funktion von x werden kann?

Im zweiten Lösngsteil wurden dann noch folgende Schritte gemacht:

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x} [/mm] =

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

=> Hier ist mir leider nicht der Zusammenhang von "ersten Lösungsteil" zum "zweiten Lösungsteil" klar.

Für mein Verständnis könnte ich doch einfach das Integral nicht beachten und dann den "normalen" Bruch unabhängig voneinander ableiten!?

Ich hoffe, dass ihr mir hier ein paar Erklärungen zum besseren Verständnis geben könnt.

Vielen Dank

        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Do 01.12.2016
Autor: ChopSuey

Hallo,

wird der Grenzwert für $ n [mm] \to [/mm] 0$ oder $ x [mm] \to [/mm] 0 $ gesucht?

> Berechnen Sie den Grenzwert:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> die o.g. Aufgabe wurde heute mit Lösung vorgestellt.
> Nachfolgend einmal der erste Teil:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{[- cos (x)]}{x^{2}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}}[/mm]
>  
> * An der eckigen Klammer steht natürlich noch das
> Intervall 0 und x
>  
> => Ich habe es nun so verstanden, dass im ersten Schritt
> die Ableitung im Zähler gebildet wird und immer ein
> Vorzeichenwechsel stattfindet => + sin (x) => - cos (x).

Nein. Bist du mit Integralrechnung vertraut?

>  
> Allerdings ist mir dann nicht klar, warum im zweiten
> Schritt die eckige Klammer verschwindet und ich "+1"
> schreiben kann/muss?

Weil $ [mm] \integral_{0}^{x}{sin (t) dt} [/mm] = [mm] -\cos(x) [/mm] + 1 $.

>  
> Auch verstehe ich leider nicht, warum aus einer Funktion
> von t aufeinmal eine Funktion von x werden kann?

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.


>  
> Im zweiten Lösngsteil wurden dann noch folgende Schritte
> gemacht:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x}[/mm] =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> => Hier ist mir leider nicht der Zusammenhang von "ersten
> Lösungsteil" zum "zweiten Lösungsteil" klar.
>  
> Für mein Verständnis könnte ich doch einfach das
> Integral nicht beachten und dann den "normalen" Bruch
> unabhängig voneinander ableiten!?
>  
> Ich hoffe, dass ihr mir hier ein paar Erklärungen zum
> besseren Verständnis geben könnt.
>  
> Vielen Dank

Muss gleich los, ich schreib was zum zweiten Teil in Kürze, falls bis dahin niemand geantwortet hat.

LG,
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Do 01.12.2016
Autor: DieAcht

Hallo Dom_89!


Es gilt

      [mm] $\int_{0}^{x}\sin(t)\mathrm{d}t=\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x}=-\cos(x)-(-\cos(0))=-\cos(x)+1$. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Fr 02.12.2016
Autor: fred97

Zum 2. Teil: zu berechnen ist  [mm] $\limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}} [/mm] $.

Zweimalige Anwendung von l'Hospital führt auf


$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x} [/mm]  = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $




Bezug
                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 04.12.2016
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antworten!

Es wird der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 gesucht.

Mir ist noch nicht klar, warum [mm] \int_{0}^{x}\sin(t)\mathrm{d}t=\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x} [/mm] gilt; speziell das Minus ist für mich nicht verständlich.

Die Ableitung von + sin(x) wäre doch eigentlich + cos(x) - oder ist das der falsche Denkansatz?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 So 04.12.2016
Autor: Steffi21

Hallo,

f(x)=cos(x)

f'(x)=-sin(x)

steffi

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 So 04.12.2016
Autor: Dom_89

Aufgabe
a)

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x*e^x-x} [/mm]

b)

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{e^t-e^{-t} dt}}{1- cos(x)} [/mm]

Hallo,

dann möchte ich es mal an den o.g. Aufgaben selber probieren:

a)

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x*e^x-x} [/mm] = [mm] \bruch{\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x}}{x*e^x-x} [/mm] = [mm] \bruch{-\cos(x)+1}{x*e^x-x} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin(x)}{x*e^x+e^x-1} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{x*e^x+e^x+e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

b)

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{e^t-e^{-t} dt}}{1- cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\left[-e^t+e^{-t}\right]_{0}^{x}}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-e^t+e^{-t}+1}{1 - cos(x)} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{e^x-e^{-x}}{-sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{- cos(x)} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{1} [/mm] = -2

Ist das so korrekt ?

Vielen Dank !!!!


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 So 04.12.2016
Autor: leduart

Hallo
vorletzte Zeile ist falsch , in der letzten
[mm] \integral_{0}^{x}e^t-e^{-t} dt=e^t+e^{-t}|_0^x [/mm] an der Stelle 0 ist das 2!
(cos(x))'=-sin(x) also ist dein Nenner  -sin(x) falsch  danach hast du den Zähler falsch der ergäbe nicht 2 sondern 0!
Das Ergebnis ist dann aber nur im Vorzeichen falsch!
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Do 08.12.2016
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe - jetzt habe ich es auch gesehen und konnte es nachvollziehen !!!

Viele Grüße

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