Diff.barkeit+Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 09.02.2011 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Für welche z-Werte ist die komplexe Funktion [mm] f(z)=(z")^2 [/mm] differenzierbar, für welche Werte ist sie holomorph?
z" ... z konjugiert |
Hallo,
mein Problem liegt hauptsächlich darin, zu zeigen, dass die Funktion nirgends holomorph ist.
Hier meine Ansätze:
zerlegt ist f(z) = [mm] x^2-y^2-i*2xy
[/mm]
Diffbarkeit: Überprüfen, ob Cauchy-Riemannsche-DGL's erfüllt
-> ich komme dabei auf Folgendes:
I: 2x=-2x, II: -2y=2y -> Diff.barkeit kann also maximal in z=0 vorliegen.
Nun habe ich den Grenzwert für [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} [/mm] f(z) = 0 ermittelt. D.h. also f(z) in z=0 stetig -> demzufolge dort diff.bar.
Laut Lösung ist die Funktion nirgends holomorph, was ich nicht zeigen kann.
Wenn ich richtig verstehe, kann, wenn f(z) nur in z=0 diff.bar ist, auch f(z) maximal in z=0 holomorph sein.
Wie kann ich das jetzt zeigen? Über die Laplace- bzw. Potentialgleichung funktioniert das nicht, oder??? Zumindest bekomme ich dabei keinen Widerspruch, denn v_(xx)=0, v_(yy)=0 sowie u_(xx)=2, u_(yy)=-2 -> womit die Laplace-Gleichungen erfüllt sind.
Per Definition, wäre ja f in z=0 holomorph, falls f in einer Umgebung von z=0 stetig diff.bar wäre. Wie kann ich das zeigen?
Oder hab ich es schon mit den Cauchy-Riemannschen-DGL gezeigt, welche mir sagen, dass f maximal in z=0 diff.bar ist und somit nicht in einer Umgebung von z=0 ???
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dieser Verständnisfrage helfen könnte.
Gruß Carl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Walde |
hi carl,
> Für welche z-Werte ist die komplexe Funktion [mm]f(z)=(z")^2[/mm]
> differenzierbar, für welche Werte ist sie holomorph?
>
> z" ... z konjugiert
> Hallo,
>
> mein Problem liegt hauptsächlich darin, zu zeigen, dass
> die Funktion nirgends holomorph ist.
>
> Hier meine Ansätze:
>
> zerlegt ist f(z) = [mm]x^2-y^2-i*2xy[/mm]
>
> Diffbarkeit: Überprüfen, ob Cauchy-Riemannsche-DGL's
> erfüllt
> -> ich komme dabei auf Folgendes:
>
> I: 2x=-2x, II: -2y=2y -> Diff.barkeit kann also maximal in
> z=0 vorliegen.
>
> Nun habe ich den Grenzwert für [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0}[/mm]
> f(z) = 0 ermittelt. D.h. also f(z) in z=0 stetig ->
> demzufolge dort diff.bar.
>
> Laut Lösung ist die Funktion nirgends holomorph, was ich
> nicht zeigen kann.
> Wenn ich richtig verstehe, kann, wenn f(z) nur in z=0
> diff.bar ist, auch f(z) maximal in z=0 holomorph sein.
>
> Wie kann ich das jetzt zeigen? Über die Laplace- bzw.
> Potentialgleichung funktioniert das nicht, oder???
> Zumindest bekomme ich dabei keinen Widerspruch, denn
> v_(xx)=0, v_(yy)=0 sowie u_(xx)=2, u_(yy)=-2 -> womit die
> Laplace-Gleichungen erfüllt sind.
>
> Per Definition, wäre ja f in z=0 holomorph, falls f in
> einer Umgebung von z=0 stetig diff.bar wäre. Wie kann ich
> das zeigen?
>
> Oder hab ich es schon mit den Cauchy-Riemannschen-DGL
> gezeigt, welche mir sagen, dass f maximal in z=0 diff.bar
> ist und somit nicht in einer Umgebung von z=0 ???
>
Genau das ist es. f ist in nur in 0 komplex diffbar, für holomorphie in 0 bräuchte man per Definition aber eine offene Umgebung um die 0, in der f kompl.diffbar ist.
> Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dieser
> Verständnisfrage helfen könnte.
>
> Gruß Carl
>
LG walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
>
Ergänzend:
> Nun habe ich den Grenzwert für [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0}[/mm]
> f(z) = 0 ermittelt. D.h. also f(z) in z=0 stetig ->
> demzufolge dort diff.bar.
nein. Diese Schlußfolgerung ist nicht richtig. Stetigkeit zieht nicht Differenzierbarkeit nach sich !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 11.02.2011 | | Autor: | carl1990 |
Vielen Dank erstmal für die Antworten!
Noch kurz zur Diff.barkeit:
Also bin ich angehalten die Diffbarkeit in z=0 über den Differenzenquotienten zu zeigen, oder?
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Hallo carl1990,
> Vielen Dank erstmal für die Antworten!
>
> Noch kurz zur Diff.barkeit:
>
> Also bin ich angehalten die Diffbarkeit in z=0 über den
> Differenzenquotienten zu zeigen, oder?
Nicht zwingend.
Das ist natürlich ein gangbarer Weg.
Alternativ über die C-R-Dglen.
Die sind nur lösbar für [mm]z=0[/mm], also ist [mm]z=0[/mm] die einzige Stelle, wo deine Fkt. (komplex) diffbar ist. (sie ist in $z=0$ auch reell diffbar)
Gruß
schachuzipus
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