Binomialverteilung Verständnis < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 04.01.2013 | | Autor: | t2k |
| Aufgabe | Folgende Frage hat sich mir beim Bearbeiten von Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit (Binomialverteilung) gestellt:
Ereignis A tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 auf.
Ereignis B tritt mit einer Wahrscheinlchkeit von 0,487 auf.
Wie oft tritt Ereignis A genau 1 mal auf wenn 3 Versuche durchgeführt werden?
Wie oft tritt Ereignis B genau 1 mal auf wenn 3 Versuche durchgeführt werden? |
Die Formel der Binomialverteilung ergibt für Ereignis A
[mm] p_{A13}=\pmat{ 3 \\ 1 }*0,2^{1}*(1-0,2)^{3-1}
[/mm]
[mm] p_{A13}=3*0,2*0,8^{2}=0,384=38,4 [/mm] %
für Ereignis B
[mm] p_{B13}=\pmat{ 3 \\ 1 }*0,487^{1}*(1-0,487)^{3-1}
[/mm]
[mm] p_{B13}=3*0,487*0,513^{2}=0,384=38,4 [/mm] %
Das heisst also [mm] p_{A13}=p_{B13} [/mm] obwohl [mm] p_{A}\not=p_{B}
[/mm]
Wenn ich also 3 mal fliegen muss und die Wahl habe zwischen 2 Fluggesellschaften wobei
Gesellschaft A eine Absturzrate von 20%
und
Gesellschaft B eine Absturzrate von 48,7%
hat stürze ich also mit einer Wahrscheinlichkeit von 38,4% genau einmal ab, ganz egal welche Gesellschaft ich wähle?
Ich verstehe nun nicht wieso trotz einer geringeren Wahrscheinlichkeit bei A das selbe Ergebnis zustande kommt wie bei B.
Danke schonmal für die hoffentlich interessante Antwort! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 04.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich gebe mal ein formales Argument. Betrachte die Funktion [mm] $\psi(p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $p\in[0,1]$, [/mm] $n=3$, $k=1$. Sie besitzt in [mm] $p_0=k/n$ [/mm] ein Maximum. Wegen der Stetigkeit von [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\psi(0)=0=\psi(1)$ [/mm] gibt es zu jedem [mm] $\pi\in[0,\psi(p_0))$ [/mm] Wahrscheinlichkeiten [mm] $p_1< p_0< p_2$ [/mm] mit [mm] $\psi(p_1)=\pi=\psi(p_2)$.
[/mm]
In deinem Beispiel gibst du [mm] $\pi=0.384$ [/mm] vor. Es ist [mm] $\psi(k/n)=0.4444$, [/mm] also [mm] $\pi\in[0,0.4444)$. [/mm] Hier ist [mm] $p_1\approx0.2$ [/mm] und [mm] $p_2\approx0.487$.
[/mm]
vg Luis
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